Uma luz está no alto de um poste de 5 m . Um menino de
se afasta do poste em linha reta à razão de
. A que taxa se move a ponta de sua sombra quando ele está a 6 m do poste? A que taxa aumenta o comprimento de sua sombra? RESPOSTA:a)
b)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um poste de 5 metros de altura com uma luz no topo. Um menino de 1,6 metros está se afastando do poste a uma velocidade de 1,2 metros por segundo. Queremos descobrir duas coisas quando ele está a 6 metros do poste:
a) A que velocidade a ponta da sombra dele está se movendo.
b) A que velocidade o comprimento da sombra está aumentando.
a) A que velocidade a ponta da sombra dele está se movendo.
b) A que velocidade o comprimento da sombra está aumentando.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de razões relacionadas e semelhança de triângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar uma figura para visualizar a situação. Imagine um triângulo formado pelo poste, a luz e a ponta da sombra do menino. Outro triângulo menor é formado pelo menino, a sombra que ele projeta e a ponta da sombra.
Como os triângulos são semelhantes, podemos relacionar as proporções das alturas com os comprimentos das sombras.
Passo 3
Vamos chamar:
-
(altura do poste), -
(altura do menino), -
= distância do menino ao poste, -
= comprimento da sombra do menino.
A relação dos triângulos semelhantes nos dá:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre
e
:
Multiplicando em cruz:
Distribuindo o 1,6:
Isolando
:
Passo 5
Agora, queremos encontrar as taxas de variação. Vamos derivar em relação ao tempo
:
Derivando ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Isso responde à parte (b): a taxa com que o comprimento da sombra está aumentando.
Passo 6
Para encontrar a taxa com que a ponta da sombra está se movendo, vamos considerar a distância total
:
Isso responde à parte (a): a taxa com que a ponta da sombra está se movendo.
Resposta
a)
b)