Uma luz está no alto de um poste de 5 m . Um menino de 1,6 m se afasta do poste em linha reta à razão de 1,2 m/s. A que taxa se move a ponta de sua sombra quando ele está a 6 m do poste? A que taxa aumenta o comprimento de sua sombra? RESPOSTA:a) 1,764 m/s b) 0,564 m/s

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um poste de 5 metros de altura com uma luz no topo. Um menino de 1,6 metros está se afastando do poste a uma velocidade de 1,2 metros por segundo. Queremos descobrir duas coisas quando ele está a 6 metros do poste:
a) A que velocidade a ponta da sombra dele está se movendo.
b) A que velocidade o comprimento da sombra está aumentando.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de razões relacionadas e semelhança de triângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar uma figura para visualizar a situação. Imagine um triângulo formado pelo poste, a luz e a ponta da sombra do menino. Outro triângulo menor é formado pelo menino, a sombra que ele projeta e a ponta da sombra.
Como os triângulos são semelhantes, podemos relacionar as proporções das alturas com os comprimentos das sombras.

Passo 3

Vamos chamar:
  • (altura do poste),
  • (altura do menino),
  • = distância do menino ao poste,
  • = comprimento da sombra do menino.
A relação dos triângulos semelhantes nos dá:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre e :
Multiplicando em cruz:
Distribuindo o 1,6:
Isolando :

Passo 5

Agora, queremos encontrar as taxas de variação. Vamos derivar em relação ao tempo :
Derivando ambos os lados:
Sabemos que , então:
Isso responde à parte (b): a taxa com que o comprimento da sombra está aumentando.

Passo 6

Para encontrar a taxa com que a ponta da sombra está se movendo, vamos considerar a distância total :
Isso responde à parte (a): a taxa com que a ponta da sombra está se movendo.

Resposta

a)
b)

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