Uma luz está no alto de um poste de 5 m . Um menino de se afasta do poste em linha reta à razão de . A que taxa se move a ponta de sua sombra quando ele está a 6 m do poste? A que taxa aumenta o comprimento de sua sombra? RESPOSTA:a) b)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um poste de 5 metros de altura com uma luz no topo. Um menino de 1,6 metros está se afastando do poste a uma velocidade de 1,2 metros por segundo. Queremos descobrir duas coisas quando ele está a 6 metros do poste:
a) A que velocidade a ponta da sombra dele está se movendo.
b) A que velocidade o comprimento da sombra está aumentando.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de razões relacionadas e semelhança de triângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar uma figura para visualizar a situação. Imagine um triângulo formado pelo poste, a luz e a ponta da sombra do menino. Outro triângulo menor é formado pelo menino, a sombra que ele projeta e a ponta da sombra.
Como os triângulos são semelhantes, podemos relacionar as proporções das alturas com os comprimentos das sombras.

Passo 3

Vamos chamar:
  • (altura do poste),
  • (altura do menino),
  • = distância do menino ao poste,
  • = comprimento da sombra do menino.
A relação dos triângulos semelhantes nos dá:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre e :
Multiplicando em cruz:
Distribuindo o 1,6:
Isolando :

Passo 5

Agora, queremos encontrar as taxas de variação. Vamos derivar em relação ao tempo :
Derivando ambos os lados:
Sabemos que , então:
Isso responde à parte (b): a taxa com que o comprimento da sombra está aumentando.

Passo 6

Para encontrar a taxa com que a ponta da sombra está se movendo, vamos considerar a distância total :
Isso responde à parte (a): a taxa com que a ponta da sombra está se movendo.

Resposta

a)
b)

Exercícios relacionados

Um avião está a uma velocidade constante de e subindo a um ângulo de 45 graus. No momento em que ele está a uma altura de , passa diretamente sobre um torre de controle no solo. Ache a taxa de variação da distância do avião à torre um minuto mais tarde. (Despreze a altura da torre). RESPOSTA:569,65 Km/h
Um balão de ar quente sobe verticalmente à medida que uma corda, amarrada à sua base, é liberada à razão de . O carretel que libera a corda está a da plataforma de embarque dos passageiros. A que taxa o balão está subindo quando tiverem sido liberados 150 m de corda? RESPOSTA:
Da beira de um rochedo 60 m acima de um lago um menino deixa cair um pedra e, depois de deixa cair outra pedra da mesma posição. Discuta a taxa na qual a distância entre as pedras varia durante o próximo segundo (Admita que a distância percorrida em segundos por um objeto em queda livre é ). RESPOSTA:19,6 m/s
Um meliante foge sobre uma muralha reta a uma velocidade de . Um holofote localizado a 20 metros de distância da muralha, e mesma altura que esta, focaliza o homem em fuga. A que taxa o holofote está girando quando o gatuno se encontra a 15 metros do ponto da muralha que está mais próximo do holofote? RESPOSTA: