Um balão de ar quente sobe verticalmente à medida que uma corda, amarrada à sua base, é liberada à razão de 1 m/min. O carretel que libera a corda está a 6,5 m da plataforma de embarque dos passageiros. A que taxa o balão está subindo quando tiverem sido liberados 150 m de corda? RESPOSTA: d h / d t aproximadamente 1

Passo 1

Então, temos a seguinte situação: um balão de ar quente está subindo verticalmente enquanto uma corda, presa à sua base, está sendo liberada a uma velocidade constante de . A distância horizontal entre o carretel que solta a corda e a plataforma de embarque dos passageiros é de . A pergunta é: Qual é a taxa na qual o balão está subindo quando já foram liberados de corda?
Vamos usar conceitos de Cálculo Relacionado ao Movimento e Teorema de Pitágoras para resolver esse problema. Precisaremos relacionar a taxa de liberação da corda com a taxa de subida do balão.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação como um triângulo retângulo, onde:
  • A hipotenusa ( ) é a corda liberada.
  • O cateto vertical ( ) é a altura que o balão alcança.
  • O cateto horizontal é a distância fixa de .
Segundo o Teorema de Pitágoras, temos:

Passo 3

Agora, vamos diferenciar essa equação em relação ao tempo ( ) para relacionar as taxas de variação:
Simplificando:

Passo 4

Queremos encontrar a taxa de variação da altura do balão ( ) quando . Sabemos que .
Primeiro, encontramos quando :

Passo 5

Agora, substituímos os valores na equação diferenciada:
Resolvendo para :

Resposta

A taxa na qual o balão está subindo quando já foram liberados de corda é aproximadamente .

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