Um balão de ar quente sobe verticalmente à medida que uma corda, amarrada à sua base, é liberada à razão de . O carretel que libera a corda está a da plataforma de embarque dos passageiros. A que taxa o balão está subindo quando tiverem sido liberados 150 m de corda? RESPOSTA:

Passo 1

Então, temos a seguinte situação: um balão de ar quente está subindo verticalmente enquanto uma corda, presa à sua base, está sendo liberada a uma velocidade constante de . A distância horizontal entre o carretel que solta a corda e a plataforma de embarque dos passageiros é de . A pergunta é: Qual é a taxa na qual o balão está subindo quando já foram liberados de corda?
Vamos usar conceitos de Cálculo Relacionado ao Movimento e Teorema de Pitágoras para resolver esse problema. Precisaremos relacionar a taxa de liberação da corda com a taxa de subida do balão.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação como um triângulo retângulo, onde:
  • A hipotenusa ( ) é a corda liberada.
  • O cateto vertical ( ) é a altura que o balão alcança.
  • O cateto horizontal é a distância fixa de .
Segundo o Teorema de Pitágoras, temos:

Passo 3

Agora, vamos diferenciar essa equação em relação ao tempo ( ) para relacionar as taxas de variação:
Simplificando:

Passo 4

Queremos encontrar a taxa de variação da altura do balão ( ) quando . Sabemos que .
Primeiro, encontramos quando :

Passo 5

Agora, substituímos os valores na equação diferenciada:
Resolvendo para :

Resposta

A taxa na qual o balão está subindo quando já foram liberados de corda é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Uma pessoa que solta um papagaio segura a corda a do solo. A corda é liberada à razão de na medida em que o papagaio se move horizontalmente a uma altura de . Supondo que a corda fique sempre tensa, determine a taxa à qual o papagaio está se movendo no instante em que foram liberados 38 m de corda. RESPOSTA:
Um painel solar de de comprimento equipado com um ajustador hidráulico é colocado de forma inclinada sobre um edifício. À medida que o sol se move o painel é ajustado automaticamente de forma que os raios solares sempre incidam de maneira perpendicular a ele de modo a maximizar a captação de energia. a) determine a relação entre a taxa à qual o painel deve ser movido e a taxa à qual o ângulo de inclinação dos raios aumenta. b) Se , quando determine RESPOSTA:a) e b)
Um avião está a uma velocidade constante de e subindo a um ângulo de 45 graus. No momento em que ele está a uma altura de , passa diretamente sobre um torre de controle no solo. Ache a taxa de variação da distância do avião à torre um minuto mais tarde. (Despreze a altura da torre). RESPOSTA:569,65 Km/h
Uma luz está no alto de um poste de 5 m . Um menino de se afasta do poste em linha reta à razão de . A que taxa se move a ponta de sua sombra quando ele está a 6 m do poste? A que taxa aumenta o comprimento de sua sombra? RESPOSTA:a) b)