Um avião voa a 10.700 m de altura, a velocidade de
, onde a temperatura chega a
. Dados:
e
[J/(kg.K)]. Determine: a) a velocidade do som; b) o número de Mach; c) o escoamento é compressível ou incompressível?
Observação:
(
velocidade do som no ar).
Observação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um avião voando a uma altura de 10.700 metros, com uma velocidade de 850 km/h, onde a temperatura é de -55°C. A gente precisa descobrir três coisas:
a) A velocidade do som no ar nessa condição.
b) O número de Mach, que relaciona a velocidade do avião com a do som.
c) Se o escoamento do ar ao redor do avião é compressível ou incompressível.
b) O número de Mach, que relaciona a velocidade do avião com a do som.
c) Se o escoamento do ar ao redor do avião é compressível ou incompressível.
Para isso, vamos usar algumas fórmulas da física do ar e da aerodinâmica, como a fórmula da velocidade do som:
onde:
- $ \gamma $ (gamma) é a razão dos calores específicos do ar, dada como 1,4.
- $ R $ é a constante dos gases, fornecida como 287 J/(kg·K).
- $ T $ é a temperatura em Kelvin.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade do som no ar nessa temperatura. Mas, antes disso, precisamos converter a temperatura de Celsius para Kelvin, porque a fórmula usa Kelvin.
A relação é:
Então,
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula da velocidade do som:
Substituindo os valores:
Primeiro, multiplicamos os valores dentro da raiz:
Então,
Passo 4
Com a velocidade do som calculada, vamos agora determinar o número de Mach. O número de Mach ($ M
V
c $):
Primeiro, vamos converter a velocidade do avião de km/h para m/s, porque a velocidade do som está em m/s.
Sabemos que:
Então,
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula do número de Mach:
Passo 6
Por último, vamos analisar se o escoamento do ar é compressível ou incompressível. Em geral:
- Se $ M < 0,3 $: escoamento incompressível.
- Se $ 0,3 \leq M \leq 1,0 $: escoamento levemente compressível.
- Se $ M > 1,0 $: escoamento compressível.
Com $ M \approx 0,798 $, nosso caso está entre 0,3 e 1,0, então o escoamento é levemente compressível.
Resposta
a) A velocidade do som no ar é aproximadamente 296 m/s.
b) O número de Mach é aproximadamente 0,798.
c) O escoamento é levemente compressível.