A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação:
onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92
. Considerando que
e
, determinar a: a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal; b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o fluxo de um fluido newtoniano entre duas placas paralelas. A gente vai precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a relação entre a velocidade do fluido e a tensão de cisalhamento. Vamos calcular a tensão de cisalhamento na parede inferior do canal e também no meio do canal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da velocidade que a gente tem:
Aqui, $ u $ é a velocidade do fluido em uma posição $ y $ entre as placas, $ V $ é a velocidade média, e $ h $ é a distância entre as duas placas. Nosso objetivo é encontrar a tensão de cisalhamento $ \tau $ em dois pontos diferentes.
Passo 3
A tensão de cisalhamento $ \tau $ em um fluido newtoniano é dada por:
Onde:
- $ \mu $ é a viscosidade dinâmica do fluido.
- $ \frac{du}{dy} $ é a derivada da velocidade em relação a $ y $, ou seja, como a velocidade muda conforme nos movemos entre as placas.
Passo 4
Vamos calcular a derivada $ \frac{du}{dy} $. Começamos com a equação da velocidade:
Derivando em relação a $ y $:
Passo 5
Agora, vamos usar a equação da tensão de cisalhamento:
Mas como estamos interessados no valor absoluto da tensão de cisalhamento, podemos ignorar o sinal negativo:
Passo 6
Vamos calcular a partida (a): a tensão de cisalhamento na parede inferior do canal. Nessa posição, $ y = 0 $ (pois estamos na parede inferior). Substituindo:
Parece estranho, né? Mas na verdade, a derivada da velocidade na parede inferior é zero, indicando que não há variação da velocidade exatamente na parede. Porém, geralmente consideramos a derivada lateral, então precisamos reavaliar.
Passo 7
Peço desculpas pelo erro. Vamos reavaliar:
A posição $ y = 0 $ está na parede inferior, mas precisamos considerar a derivada da velocidade exatamente na parede. A derivada $ \frac{du}{dy} $ é avaliada no limite quando $ y $ se aproxima de zero.
Substituindo $ y = 0 $:
Na verdade, a derivada na parede inferior é zero, o que indica que a velocidade não muda instantaneamente na parede. Porém, o gradiente de velocidade próximo à parede é máximo, e a tensão de cisalhamento na parede é:
Mesmo que $ \frac{du}{dy} = 0 $, na prática, há uma mudança de velocidade próxima à parede, então vamos considerar a derivada correta.
Derivamos novamente:
Para $ y = 0 $:
Isso sugere que a tensão de cisalhamento na parede inferior é zero, o que contraria a intuição. Vamos verificar se há um erro na interpretação da equação.
Passo 8
Vamos reconsiderar a equação original da velocidade:
Aqui, $ y $ varia de $ -h $ a $ h $. Para a parede inferior, $ y = -h $, e para a parede superior, $ y = h $. Vamos recalcular a derivada nesse contexto.
Passo 9
Agora, para a parede inferior, $ y = -h $:
Passo 10
Vamos substituir os valores dados:
- $ \mu = 1,92 , \mathrm{N} \cdot \mathrm{s}/\mathrm{m}^2 $
- $ V = 0,6 , \mathrm{m}/\mathrm{s} $
- $ h = 5 , \mathrm{mm} = 0,005 , \mathrm{m} $
Então:
Calculando:
Passo 11
Agora, para a parte (b): a tensão de cisalhamento no plano central do canal. No centro, $ y = 0 $:
Isso faz sentido, pois no meio do canal a velocidade atinge seu valor máximo e a derivada da velocidade é zero, resultando em tensão de cisalhamento nula.
Resposta
a) A tensão de cisalhamento na parede inferior do canal é de 691,2 N/m².
b) A tensão de cisalhamento no plano central do canal é de 0 N/m².