Um avião voa a paralelamente ao solo, a uma altitude de no sentido oeste, tomando como referencia um holofote fixado no solo que focaliza e que se encontra à esquerda da projeção vertical do avião em relação ao solo. Sabendo-se que a luz do holofote deverá permanecer iluminando o avião, qual deverá ser a velocidade angular (de giro) do holofote, no instante em que a distância horizontal entre ele e a projeção vertical do avião for de ?

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos um avião voando a uma velocidade de paralelamente ao solo, a uma altitude de na direção oeste. Um holofote está fixado no solo e precisa girar para manter o avião iluminado. Queremos descobrir a velocidade angular do holofote no instante em que a distância horizontal entre ele e a projeção vertical do avião é de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria e derivadas relacionadas ao movimento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a posição do avião e o ângulo que o holofote precisa formar para iluminá-lo. Imagine um triângulo retângulo onde:
  • A altura ( ) é a altitude do avião: .
  • A base ( ) é a distância horizontal entre o holofote e a projeção vertical do avião: .
  • O ângulo é o ângulo que o holofote forma com a horizontal para iluminar o avião.

Passo 3

Usamos a função tangente para relacionar o ângulo com as distâncias e :
Substituindo os valores conhecidos:

Passo 4

Agora, para encontrar a velocidade angular , vamos derivar a equação em relação ao tempo . A derivada de é :
Como é constante ( ), a derivada fica:

Passo 5

Sabemos que é a velocidade do avião na direção oeste, que é . Substituímos os valores na equação:
Simplificando:

Passo 6

Lembrando que , e já sabemos que , então:
Portanto:

Passo 7

Agora, substituímos na equação para encontrar :

Resposta

A velocidade angular do holofote deve ser aproximadamente no instante considerado para manter o avião iluminado.

Exercícios relacionados

Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Calcule as seguintes integrais.
Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a uma velocidade de e o outro seguindo a direção sul, a . Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro está a do cruzamento e o segundo a ?
Um estudo demográfico modela a população de uma comunidade (em milhares de habitantes) pela função
onde é um índice de qualidade de vida que varia de (qualidade extremamente baixa) a (quantidade excelente). Suponha que o índice varia com o tempo de tal forma que daqui a anos,
para .
Qual será a taxa de variação da população com o tempo daqui a 4 anos? A pululação estará aumentando ou diminuindo nessa ocasião?