Um avião voa a
paralelamente ao solo, a uma altitude de
no sentido oeste, tomando como referencia um holofote fixado no solo que focaliza e que se encontra à esquerda da projeção vertical do avião em relação ao solo. Sabendo-se que a luz do holofote deverá permanecer iluminando o avião, qual deverá ser a velocidade angular (de giro) do holofote, no instante em que a distância horizontal entre ele e a projeção vertical do avião for de
?
Passo 1
Vamos resumir o problema: Temos um avião voando a uma velocidade de
paralelamente ao solo, a uma altitude de
na direção oeste. Um holofote está fixado no solo e precisa girar para manter o avião iluminado. Queremos descobrir a velocidade angular do holofote no instante em que a distância horizontal entre ele e a projeção vertical do avião é de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria e derivadas relacionadas ao movimento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a posição do avião e o ângulo que o holofote precisa formar para iluminá-lo. Imagine um triângulo retângulo onde:
- A altura (
) é a altitude do avião: . - A base (
) é a distância horizontal entre o holofote e a projeção vertical do avião: . - O ângulo
é o ângulo que o holofote forma com a horizontal para iluminar o avião.
Passo 3
Usamos a função tangente para relacionar o ângulo
com as distâncias
e
:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 4
Agora, para encontrar a velocidade angular
, vamos derivar a equação em relação ao tempo
. A derivada de
é
:
Como
é constante (
), a derivada fica:
Passo 5
Sabemos que
é a velocidade do avião na direção oeste, que é
. Substituímos os valores na equação:
Simplificando:
Passo 6
Lembrando que
, e já sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação para encontrar
:
Resposta
A velocidade angular do holofote deve ser aproximadamente
no instante considerado para manter o avião iluminado.
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?
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para
.
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