Calcule as seguintes integrais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de em relação a . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente em frações algébricas e divisão de polinômios. Para resolver, vamos precisar dividir o polinômio do numerador pelo denominador e depois integrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir por . Isso porque o grau do numerador (5) é maior que o do denominador (3), e a gente pode simplificar a fração fazendo essa divisão.
Fazendo a divisão:
Mas para simplificar melhor, na verdade, a divisão completa resulta em:
(Obs.: Aqui simplificamos a divisão para facilitar a resolução.)

Passo 3

Agora que temos a divisão feita, a integral fica:
Vamos separar as integrais:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, fazemos uma substituição. Seja , então ou . Substituindo:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:

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Calcule as seguintes integrais.
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Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Um avião voa a paralelamente ao solo, a uma altitude de no sentido oeste, tomando como referencia um holofote fixado no solo que focaliza e que se encontra à esquerda da projeção vertical do avião em relação ao solo. Sabendo-se que a luz do holofote deverá permanecer iluminando o avião, qual deverá ser a velocidade angular (de giro) do holofote, no instante em que a distância horizontal entre ele e a projeção vertical do avião for de ?