Calcule as seguintes integrais. integral x^5(x^3-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de em relação a . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente em frações algébricas e divisão de polinômios. Para resolver, vamos precisar dividir o polinômio do numerador pelo denominador e depois integrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir x^5x^3 - 1 = x^2 + x^2 cdot 1x^3 - 1 por x^5 ÷ (x^3 - 1) = x^2 + x^2 + x^2x^3 - 1 . Isso porque o grau do numerador (5) é maior que o do denominador (3), e a gente pode simplificar a fração fazendo essa divisão.
Fazendo a divisão:
Mas para simplificar melhor, na verdade, a divisão completa resulta em:
(Obs.: Aqui simplificamos a divisão para facilitar a resolução.)

Passo 3

Agora que temos a divisão feita, a integral fica:
integral x^5x^3 - 1 dx = integral (x^2 + x^2x^3 - 1) dx
Vamos separar as integrais:
integral x^2 dx + integral x^2x^3 - 1 dx
A primeira integral é simples:
integral x^2 dx = x^33 + C
Para a segunda integral, fazemos uma substituição. Seja integral x^2x^3 - 1 dx = 13 integral 1u du = 13 ln|u| + C = 13 ln|x^3 - 1| + C , então ou . Substituindo:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
integral x^5x^3 - 1 dx = x^33 + 13 ln|x^3 - 1| + C

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