Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a uma velocidade de e o outro seguindo a direção sul, a . Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro está a do cruzamento e o segundo a ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos dois carros se aproximando de um cruzamento: um vai para o leste a uma velocidade de e o outro vai para o sul a . Queremos descobrir quão rápido eles estão se aproximando um do outro no exato momento em que o primeiro carro está a do cruzamento e o segundo a .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxas relacionadas, que faz parte do cálculo diferencial. Precisamos relacionar as velocidades dos carros com a taxa na qual a distância entre eles está mudando.

Passo 2

Vamos chamar:
  • de distância do primeiro carro (que vai para o leste) até o cruzamento.
  • de distância do segundo carro (que vai para o sul) até o cruzamento.
  • de distância entre os dois carros.
Como os carros estão se movendo em direções perpendiculares (leste e sul), podemos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar essas distâncias:

Passo 3

Para encontrar a taxa de variação da distância em relação ao tempo ( ), precisamos derivar a equação acima em relação ao tempo:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos identificar os valores que temos:
  • (o sinal negativo porque o carro está se aproximando do cruzamento)
  • (mesma lógica para o segundo carro)
Primeiro, calculamos :

Passo 5

Agora, substituímos todos os valores na fórmula da taxa de variação:
Calculando o numerador:
Então:

Resposta

Os dois carros estão se aproximando um do outro a uma taxa de .

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