Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a uma velocidade de
e o outro seguindo a direção sul, a
. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro está a
do cruzamento e o segundo a
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos dois carros se aproximando de um cruzamento: um vai para o leste a uma velocidade de
e o outro vai para o sul a
. Queremos descobrir quão rápido eles estão se aproximando um do outro no exato momento em que o primeiro carro está a
do cruzamento e o segundo a
.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxas relacionadas, que faz parte do cálculo diferencial. Precisamos relacionar as velocidades dos carros com a taxa na qual a distância entre eles está mudando.
Passo 2
Vamos chamar:
-
de distância do primeiro carro (que vai para o leste) até o cruzamento. -
de distância do segundo carro (que vai para o sul) até o cruzamento. -
de distância entre os dois carros.
Como os carros estão se movendo em direções perpendiculares (leste e sul), podemos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar essas distâncias:
Passo 3
Para encontrar a taxa de variação da distância
em relação ao tempo (
), precisamos derivar a equação acima em relação ao tempo:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos identificar os valores que temos:
-
-
-
(o sinal negativo porque o carro está se aproximando do cruzamento) -
(mesma lógica para o segundo carro)
Primeiro, calculamos
:
Passo 5
Agora, substituímos todos os valores na fórmula da taxa de variação:
Calculando o numerador:
Então:
Resposta
Os dois carros estão se aproximando um do outro a uma taxa de
.