Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a região limitada pelas curvas
e
e encontrar a área dessa região. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de gráficos de funções, encontrar onde essas curvas se cruzam e usar cálculo, especificamente integração, para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são essas curvas. A função
é uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus. Já
é uma curva cúbica que também passa pela origem, mas é simétrica em relação à origem e tem um formato diferente da reta.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se intersectam. Para isso, igualamos as duas expressões:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando:
Isso nos dá as soluções:
Então, as curvas se cruzam nos pontos
,
e
.
Passo 4
Vamos esboçar as curvas para visualizar a região delimitada. A reta
corta a curva
nos pontos encontrados. Observando os gráficos, vemos que entre
e
, a curva
está abaixo da reta
, e entre
e
, ela está acima.
Passo 5
Para encontrar a área da região delimitada, vamos calcular a integral da diferença entre as duas funções nos intervalos onde elas se cruzam. A fórmula geral para a área entre duas curvas
e
de
a
é:
No nosso caso, vamos dividir a integral em duas partes: de
a
e de
a
.
Passo 6
Primeiro, calculamos a área de
a
, onde
está acima de
:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Agora, calculamos a área de
a
, onde
está acima de
:
Integrando termo a termo:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Passo 8
Somando as duas áreas encontradas:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
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