Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a região limitada pelas curvas e e encontrar a área dessa região. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de gráficos de funções, encontrar onde essas curvas se cruzam e usar cálculo, especificamente integração, para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são essas curvas. A função é uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus. Já é uma curva cúbica que também passa pela origem, mas é simétrica em relação à origem e tem um formato diferente da reta.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se intersectam. Para isso, igualamos as duas expressões:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
Isso nos dá as soluções:
Então, as curvas se cruzam nos pontos , e .

Passo 4

Vamos esboçar as curvas para visualizar a região delimitada. A reta corta a curva nos pontos encontrados. Observando os gráficos, vemos que entre e , a curva está abaixo da reta , e entre e , ela está acima.

Passo 5

Para encontrar a área da região delimitada, vamos calcular a integral da diferença entre as duas funções nos intervalos onde elas se cruzam. A fórmula geral para a área entre duas curvas e de a é:
Á
No nosso caso, vamos dividir a integral em duas partes: de a e de a .

Passo 6

Primeiro, calculamos a área de a , onde está acima de :
Á
Integrando termo a termo:
Á

Passo 7

Agora, calculamos a área de a , onde está acima de :
Á
Integrando termo a termo:
Á
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Á

Passo 8

Somando as duas áreas encontradas:
ÁÁÁ

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é unidades de área.

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