Um estudo demográfico modela a população de uma comunidade (em milhares de habitantes) pela função
onde é um índice de qualidade de vida que varia de (qualidade extremamente baixa) a (quantidade excelente). Suponha que o índice varia com o tempo de tal forma que daqui a anos,
para .
Qual será a taxa de variação da população com o tempo daqui a 4 anos? A pululação estará aumentando ou diminuindo nessa ocasião?

Passo 1

Vamos lá! Temos um problema de demografia onde a população de uma comunidade é modelada pela função , onde é um índice de qualidade de vida que varia de 0 a 10. Além disso, sabemos que esse índice de qualidade varia com o tempo segundo a função . Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação da população em relação ao tempo daqui a 4 anos e determinar se a população estará aumentando ou diminuindo nesse momento. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que é uma função de , e é uma função de . Isso significa que é, na verdade, uma função composta de . Para encontrar a taxa de variação de em relação a , teremos que usar a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Dada a função , a derivada será:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , , onde . Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é dada por:
Neste caso, e . Calculando as derivadas de e :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 5

Agora, temos e . A taxa de variação de em relação a é dada pela regra da cadeia:
Vamos calcular e para :
Primeiro, calculando :
Agora, calculando para :
Agora, substituindo na expressão de :

Resposta

A taxa de variação da população daqui a 4 anos será de aproximadamente mil habitantes por ano, indicando que a população estará aumentando nesse momento.

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para .
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