Um avião voa a uma altitude de com número de Mach 4. (a) Onde o avião estará quando uma pessoa na superfície escutar o som que o avião emitiu quando estava diretamente em cima dela? (b) Desenhe o cone de Mach e, a partir do desenho, determine de onde parte o primeiro som que uma pessoa no chão ouvirá do avião. (c) Se o som chega na pessoa com nível sonoro de 110 dB e frequência aproximada de , qual é a amplitude de deslocamento do ar da onda sonora?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um avião voando a uma altitude de a uma velocidade de Mach 4. **Mach** é uma unidade que relaciona a velocidade de um objeto com a velocidade do som no meio em que ele está. Neste caso, vamos precisar saber a velocidade do som no ar para resolver as questões. O conteúdo envolve conceitos de **acústica** e **cinemática**, como ondas de som e movimento relativo. Vamos lá!
Passo 2
**Parte (a):** Queremos saber onde o avião estará quando uma pessoa no chão ouvir o som que o avião emitiu quando estava diretamente acima dela.
Primeiro, precisamos calcular a velocidade do som no ar. Em condições padrão, a velocidade do som é aproximadamente . O avião está voando a Mach 4, então a velocidade do avião é:
Quando o avião está diretamente acima da pessoa, ele emite um som. Esse som viaja para baixo até a pessoa a uma velocidade de . Enquanto o som está descendo, o avião continua se movendo horizontalmente.
O tempo que o som leva para chegar à pessoa é dado por:
Nesse tempo, o avião se desloca horizontalmente:
Passo 3
Portanto, quando a pessoa ouvir o som que o avião emitiu quando estava diretamente acima, o avião já estará a aproximadamente de distância horizontalmente da sua posição inicial.
Passo 4
**Resposta (a):** O avião estará a aproximadamente de distância horizontal quando a pessoa ouvir o som que foi emitido quando o avião estava diretamente sobre ela.
Passo 5
**Parte (b):** Vamos desenhar o cone de Mach para visualizar de onde parte o primeiro som que a pessoa no chão ouvirá do avião.
O **cone de Mach** é formado porque o avião está se movendo mais rápido que a velocidade do som, criando uma espécie de "caixa de som" que se estende para trás do avião. O ângulo do cone de Mach é dado por:
Isso significa que o som emitido pelo avião se propaga dentro desse cone com um ângulo de aproximadamente em relação à direção do movimento do avião.
Passo 6
No desenho, o avião está movendo-se para a direita. O cone de Mach se estende para trás com o ângulo de . O primeiro som que a pessoa no chão ouvirá virá da borda do cone, ou seja, de uma posição onde o som tocou o chão exatamente nesse ângulo.
Isso corresponde à situação do item (a), onde o som leva cerca de para chegar até a pessoa, enquanto o avião continuou avançando.
Passo 7
**Resposta (b):** O primeiro som que a pessoa no chão ouvirá parte da borda do cone de Mach, ou seja, do ponto onde o som emitido quando o avião estava diretamente acima alcança o solo, formando um ângulo de aproximadamente em relação à direção do movimento do avião.
Passo 8
**Parte (c):** Queremos encontrar a amplitude de deslocamento do ar da onda sonora, sabendo que o nível sonoro é de e a frequência é de .
Primeiro, sabemos que o nível sonoro em decibéis ( ) está relacionado à intensidade da onda sonora ( ) pela fórmula:
onde é a intensidade de referência.
Rearranjando para encontrar :
Agora, a intensidade da onda sonora também é dada por:
onde:
- é a densidade do ar ( ),
- é a velocidade do som ( ),
- é a frequência angular ( ),
- é a amplitude de deslocamento que queremos encontrar.
Vamos primeiro calcular :
Agora, rearranjamos a fórmula de intensidade para encontrar :
Calculando o denominador:
Então:
Passo 9
**Resposta (c):** A amplitude de deslocamento do ar da onda sonora é de aproximadamente .
Resposta
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