Um avião voa a uma altitude de 2,0 km com número de Mach 4. (a) Onde o avião estará quando uma pessoa na superfície escutar o som que o avião emitiu quando estava diretamente em cima dela? (b) Desenhe o cone de Mach e, a partir do desenho, determine de onde parte o primeiro som que uma pessoa no chão ouvirá do avião. © Se o som chega na pessoa com nível sonoro de 110 dB e frequência aproximada de 3,0 Hz, qual é a amplitude de deslocamento do ar da onda sonora?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um avião voando a uma altitude de 2,0, km a uma velocidade de Mach 4. Mach é uma unidade que relaciona a velocidade de um objeto com a velocidade do som no meio em que ele está. Neste caso, vamos precisar saber a velocidade do som no ar para resolver as questões. O conteúdo envolve conceitos de acústica e cinemática, como ondas de som e movimento relativo. Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): Queremos saber onde o avião estará quando uma pessoa no chão ouvir o som que o avião emitiu quando estava diretamente acima dela.
Primeiro, precisamos calcular a velocidade do som no ar. Em condições padrão, a velocidade do som é aproximadamente vs = 343, m/s. O avião está voando a Mach 4, então a velocidade do avião é:
va = 4 times vs = 4 times 343, m/s = 1372, m/s
Quando o avião está diretamente acima da pessoa, ele emite um som. Esse som viaja para baixo até a pessoa a uma velocidade de 343, m/s. Enquanto o som está descendo, o avião continua se movendo horizontalmente.
O tempo que o som leva para chegar à pessoa é dado por:
t = a
Nesse tempo, o avião se desloca horizontalmente:
d = va times t = 1372, m/s times 5,83, s approx 8000, m

Passo 3

Portanto, quando a pessoa ouvir o som que o avião emitiu quando estava diretamente acima, o avião já estará a aproximadamente 8, km de distância horizontalmente da sua posição inicial.

Passo 4

Resposta (a): O avião estará a aproximadamente 8, km de distância horizontal quando a pessoa ouvir o som que foi emitido quando o avião estava diretamente sobre ela.

Passo 5

Parte (b): Vamos desenhar o cone de Mach para visualizar de onde parte o primeiro som que a pessoa no chão ouvirá do avião.
O cone de Mach é formado porque o avião está se movendo mais rápido que a velocidade do som, criando uma espécie de “caixa de som” que se estende para trás do avião. O ângulo theta do cone de Mach é dado por:
sin theta = vsva = 3431372 = 0,25
theta = arcsin(0,25) approx 14,5^circ
Isso significa que o som emitido pelo avião se propaga dentro desse cone com um ângulo de aproximadamente 14,5^circ em relação à direção do movimento do avião.

Passo 6

No desenho, o avião está movendo-se para a direita. O cone de Mach se estende para trás com o ângulo de 14,5^circ. O primeiro som que a pessoa no chão ouvirá virá da borda do cone, ou seja, de uma posição onde o som tocou o chão exatamente nesse ângulo.
Isso corresponde à situação do item (a), onde o som leva cerca de 5,83, s para chegar até a pessoa, enquanto o avião continuou avançando.

Passo 7

Resposta (b): O primeiro som que a pessoa no chão ouvirá parte da borda do cone de Mach, ou seja, do ponto onde o som emitido quando o avião estava diretamente acima alcança o solo, formando um ângulo de aproximadamente 14,5^circ em relação à direção do movimento do avião.

Passo 8

Parte ©: Queremos encontrar a amplitude de deslocamento do ar da onda sonora, sabendo que o nível sonoro é de 110, dB e a frequência é de 3,0, Hz.
Primeiro, sabemos que o nível sonoro em decibéis ( L) está relacionado à intensidade da onda sonora ( I) pela fórmula:
L = 10 log ( II0 )
onde I0 = 10^-12, W/m^2 é a intensidade de referência.
Rearranjando para encontrar I:
I = I0 times 10^L/10 = 10^-12 times 10^110/10 = 10^-12 times 10^11 = 10^-1, W/m^2
Agora, a intensidade da onda sonora também é dada por:
I = 12 rho vs omega^2 A^2
onde:
  • rho é a densidade do ar ( approx 1,2, kg/m^3),
  • vs é a velocidade do som ( 343, m/s),
  • omega é a frequência angular ( omega = 2pi f),
  • A é a amplitude de deslocamento que queremos encontrar.
Vamos primeiro calcular omega:
omega = 2pi f = 2pi times 3,0, Hz approx 18,85, rad/s
Agora, rearranjamos a fórmula de intensidade para encontrar A:
A = raiz 2Irho vs omega^2 = raiz 2 times 10^-11,2 times 343 times (18,85)^2
Calculando o denominador:
1,2 times 343 times (18,85)^2 approx 1,2 times 343 times 355,2 approx 1,2 times 343 times 355,2 approx 146,550
Então:
A = raiz 0,2146,550 = raiz1,366 times 10^-3 approx 0,037, m = 3,7, cm

Passo 9

Resposta ©: A amplitude de deslocamento do ar da onda sonora é de aproximadamente 3,7, cm.

Exercícios relacionados