Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 1 km, a 500 km/h, e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a 2 km além da estação.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. Temos um avião voando a uma altitude constante de 1 km e a uma velocidade de . Ele passa diretamente sobre uma estação de radar. A pergunta é: quando o avião estiver a 2 km além da estação, quão rápido a distância entre o avião e a estação está aumentando? Para resolver isso, vamos usar a matemática de taxas relacionadas e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a situação. Imagine um triângulo retângulo onde:
  • A altura é a altitude do avião, .
  • A base é a distância horizontal do avião à estação, que chamaremos de .
  • A hipotenusa é a distância direta do avião à estação, que chamaremos de .

Passo 3

Segundo o Teorema de Pitágoras, a relação entre esses lados é:
Aqui, representa o quadrado da altitude (em km).

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação ao tempo , para descobrir como muda com o tempo:
Essa é a regra da cadeia aplicada na derivada.

Passo 5

Simplificando a equação:
Aqui, é o que queremos encontrar, a taxa de mudança da distância .

Passo 6

Sabemos que:
  • Quando o avião está a 2 km além da estação, então .
  • A velocidade horizontal do avião é .
  • Vamos encontrar usando o Teorema de Pitágoras:

Passo 7

Agora, substituímos esses valores na equação da taxa:
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador:
Aproximando :

Resposta

Quando o avião estiver a 2 km além da estação, a distância entre ele e a estação está aumentando a uma taxa de aproximadamente .

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