Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 1 km, a
, e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a 2 km além da estação.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. Temos um avião voando a uma altitude constante de 1 km e a uma velocidade de
. Ele passa diretamente sobre uma estação de radar. A pergunta é: quando o avião estiver a 2 km além da estação, quão rápido a distância entre o avião e a estação está aumentando? Para resolver isso, vamos usar a matemática de taxas relacionadas e o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a situação. Imagine um triângulo retângulo onde:
- A altura é a altitude do avião,
. - A base é a distância horizontal do avião à estação, que chamaremos de
. - A hipotenusa é a distância direta do avião à estação, que chamaremos de
.
Passo 3
Segundo o Teorema de Pitágoras, a relação entre esses lados é:
Aqui,
representa o quadrado da altitude (em km).
Passo 4
Agora, vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação ao tempo
, para descobrir como
muda com o tempo:
Essa é a regra da cadeia aplicada na derivada.
Passo 5
Simplificando a equação:
Aqui,
é o que queremos encontrar, a taxa de mudança da distância
.
Passo 6
Sabemos que:
- Quando o avião está a 2 km além da estação, então
. - A velocidade horizontal do avião é
. - Vamos encontrar
usando o Teorema de Pitágoras:
Passo 7
Agora, substituímos esses valores na equação da taxa:
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador:
Aproximando
:
Resposta
Quando o avião estiver a 2 km além da estação, a distância entre ele e a estação está aumentando a uma taxa de aproximadamente
.