Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites, funções trigonométricas e propriedades de potências. Precisaremos manipular a expressão para facilitar a aplicação do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão usando o logaritmo natural para simplificar a potência. Sabemos que
. Então,
Portanto, o limite se transforma em:
Passo 3
Como a função exponencial
é contínua, podemos trocar o limite com a exponencial. Ou seja,
Agora, precisamos calcular o limite dentro do expoente:
Passo 4
Vamos analisar
e
separadamente quando
se aproxima de 0. Sabemos que
para
próximo de 0 e
. Então,
Substituindo na expressão:
Passo 5
Agora, substituímos de volta no limite:
Passo 6
Precisamos calcular
. Sabemos que
tende a
quando
tende a 0, mas multiplicado por
, que tende a 0, temos uma forma indeterminada
. Para resolver isso, reescrevemos como:
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital, já que temos a forma
:
Derivando o numerador e o denominador:
Então:
Portanto,
Passo 7
Voltando ao limite anterior:
Então, o limite dentro do expoente é 0.
Resposta
Portanto, o limite original é:
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e
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e
.
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