Calcule os seguintes limites: lim x 0^+(x sen x)^tg x

Passo 1

Vamos calcular o limite . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites, funções trigonométricas e propriedades de potências. Precisaremos manipular a expressão para facilitar a aplicação do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão usando o logaritmo natural para simplificar a potência. Sabemos que (x sin x)^tan x = e^tan x cdot ln(x sin x) . Então,
limx to 0^+ e^tan x cdot ln(x sin x)
Portanto, o limite se transforma em:

Passo 3

Como a função exponencial e^limx to 0^+ tan x cdot ln(x sin x) é contínua, podemos trocar o limite com a exponencial. Ou seja,
limx to 0^+ tan x cdot ln(x sin x)
Agora, precisamos calcular o limite dentro do expoente:

Passo 4

Vamos analisar sin x approx x e tan x approx x e ln(x sin x) approx ln(x cdot x) = ln(x^2) = 2 ln x separadamente quando se aproxima de 0. Sabemos que para próximo de 0 e . Então,
Substituindo na expressão:

Passo 5

Agora, substituímos de volta no limite:
limx to 0^+ tan x cdot ln(x sin x) approx limx to 0^+ x cdot 2 ln x = 2 limx to 0^+ x ln x

Passo 6

Precisamos calcular limx to 0^+ ln x1/x . Sabemos que ddx ln x = 1x, ddx (1x) = -1x^2 tende a limx to 0^+ 1x-1x^2 = limx to 0^+ -x = 0 quando limx to 0^+ x ln x = 0 tende a 0, mas multiplicado por , que tende a 0, temos uma forma indeterminada . Para resolver isso, reescrevemos como:
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital, já que temos a forma :
Derivando o numerador e o denominador:
Então:
Portanto,

Passo 7

Voltando ao limite anterior:
2 limx to 0^+ x ln x = 2 cdot 0 = 0
Então, o limite dentro do expoente é 0.

Resposta

Portanto, o limite original é:
limx to 0^+ (x sin x)^tan x = e^0 = 1

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