Calcule os seguintes limites:

Passo 1

Vamos calcular o limite . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites, funções trigonométricas e propriedades de potências. Precisaremos manipular a expressão para facilitar a aplicação do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão usando o logaritmo natural para simplificar a potência. Sabemos que . Então,
Portanto, o limite se transforma em:

Passo 3

Como a função exponencial é contínua, podemos trocar o limite com a exponencial. Ou seja,
Agora, precisamos calcular o limite dentro do expoente:

Passo 4

Vamos analisar e separadamente quando se aproxima de 0. Sabemos que para próximo de 0 e . Então,
Substituindo na expressão:

Passo 5

Agora, substituímos de volta no limite:

Passo 6

Precisamos calcular . Sabemos que tende a quando tende a 0, mas multiplicado por , que tende a 0, temos uma forma indeterminada . Para resolver isso, reescrevemos como:
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital, já que temos a forma :
Derivando o numerador e o denominador:
Então:
Portanto,

Passo 7

Voltando ao limite anterior:
Então, o limite dentro do expoente é 0.

Resposta

Portanto, o limite original é:

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