Calcule os seguintes limites: lim x 0^+ x^3 ln (x)

Passo 1

Vamos calcular o limite lim x 0^+ x^3 ln (x). Esse problema está relacionado ao estudo de limites na matemática, especificamente envolvendo funções que combinam potências e logaritmos. Para resolver esse limite, vamos precisar entender como as funções ln(x) e x^3 se comportam quando x se aproxima de 0 pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão quando x se aproxima de 0^+ (ou seja, se aproxima de 0 pelo lado positivo):
  • A função ln(x) tende a -infty quando x tende a 0^+.
  • A função x^3 tende a 0, já que qualquer potência de x com expoente positivo se aproxima de 0 quando x se aproxima de 0.
Portanto, estamos lidando com uma forma indeterminada do tipo 0 cdot (-infty). Para resolver esse tipo de limite, uma estratégia comum é reescrever a expressão de forma que possamos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão x^3 ln(x) como uma fração:
x^3 ln(x) = ln(x)x^-3
Agora, nosso limite fica:
lim x 0^+ ln(x)x^-3
Neste formato, temos a forma indeterminada -inftyinfty, que é adequada para aplicar a Regra de L’Hôpital. A Regra de L’Hôpital nos diz que se temos um limite da forma f(x)g(x) onde ambos f(x) e g(x) tendem a 0 ou a pminfty, então:
limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x)
desde que o limite à direita exista.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do numerador, f(x) = ln(x):
    f'(x) = 1x
  • Derivada do denominador, g(x) = x^-3:
    g'(x) = -3x^-4 = -3x^4
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
lim x 0^+ ln(x)x^-3 = lim x 0^+ 1x-3x^4 = lim x 0^+ -x^33

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão resultante:
lim x 0^+ -x^33 = -13 cdot lim x 0^+ x^3
Sabemos que lim x 0^+ x^3 = 0. Portanto:
-13 cdot 0 = 0

Resposta

O limite lim x 0^+ x^3 ln (x) é igual a 0.

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