Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Esse problema está relacionado ao estudo de limites na matemática, especificamente envolvendo funções que combinam potências e logaritmos. Para resolver esse limite, vamos precisar entender como as funções
e
se comportam quando
se aproxima de
pela direita.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão quando
se aproxima de
(ou seja, se aproxima de
pelo lado positivo):
- A função
tende a quando tende a . - A função
tende a , já que qualquer potência de com expoente positivo se aproxima de quando se aproxima de .
Portanto, estamos lidando com uma forma indeterminada do tipo
. Para resolver esse tipo de limite, uma estratégia comum é reescrever a expressão de forma que possamos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Vamos reescrever a expressão
como uma fração:
Agora, nosso limite fica:
Neste formato, temos a forma indeterminada
, que é adequada para aplicar a Regra de L’Hôpital. A Regra de L’Hôpital nos diz que se temos um limite da forma
onde ambos
e
tendem a
ou a
, então:
desde que o limite à direita exista.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
-
Derivada do numerador,
: -
Derivada do denominador,
:
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
Passo 5
Agora, simplificamos a expressão resultante:
Sabemos que
. Portanto:
Resposta
O limite
é igual a
.
Exercícios relacionados
Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 1 km, a
, e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a 2 km além da estação.
a) Seja
uma função derivável tal que
para todo
. Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que
é uma função constante.
Use diferenciais para estimar
e sen59
.