Calcule os seguintes limites:

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse problema está relacionado ao estudo de limites na matemática, especificamente envolvendo funções que combinam potências e logaritmos. Para resolver esse limite, vamos precisar entender como as funções e se comportam quando se aproxima de pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão quando se aproxima de (ou seja, se aproxima de pelo lado positivo):
  • A função tende a quando tende a .
  • A função tende a , já que qualquer potência de com expoente positivo se aproxima de quando se aproxima de .
Portanto, estamos lidando com uma forma indeterminada do tipo . Para resolver esse tipo de limite, uma estratégia comum é reescrever a expressão de forma que possamos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão como uma fração:
Agora, nosso limite fica:
Neste formato, temos a forma indeterminada , que é adequada para aplicar a Regra de L’Hôpital. A Regra de L’Hôpital nos diz que se temos um limite da forma onde ambos e tendem a ou a , então:
desde que o limite à direita exista.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do numerador, :
  • Derivada do denominador, :
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão resultante:
Sabemos que . Portanto:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

A esquina inferior direita de uma folha é dobrada de maneira que esta toca em um ponto a margem esquerda conforme mostrado na figura abaixo.
Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 1 km, a , e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a 2 km além da estação.
a) Seja uma função derivável tal que para todo . Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que é uma função constante.
Use diferenciais para estimar e sen59 .