Um avião, voando para baixo em um ângulo de 57^circ com a vertical, lança um pacote de uma altitude de 730 m . O pacote atinge o solo 5,0 s após ser lançado. (a) Qual é a velocidade do avião ? (b) Qual a distância que o pacote percorre horizontalmente durante seu trajeto? © Quais são os componentes horizontal e vertical de sua velocidade no momento exato antes de atingir o solo ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! Temos um avião que está descendo formando um ângulo de 57^circ com a vertical. Ele lança um pacote de uma altura de 730 metros, e o pacote leva 5 segundos para atingir o chão. Vamos usar conceitos de cinemática para encontrar:
a) A velocidade do avião.
b) A distância horizontal que o pacote percorre durante a queda.
c) As componentes horizontal e vertical da velocidade do pacote no instante que ele toca o solo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a velocidade do avião se relaciona com o movimento do pacote. Quando o avião solta o pacote, ele dá a ele uma velocidade inicial que tem duas partes: uma na direção vertical e outra na horizontal. Essas componentes dependem do ângulo de 57^circ que o avião faz com a vertical.
Vamos chamar a velocidade do avião de v. Então:
  • A componente vertical da velocidade inicial do pacote é v cos(57^circ).
  • A componente horizontal da velocidade inicial do pacote é v sin(57^circ).

Passo 3

Agora, vamos focar na queda vertical do pacote para encontrar a velocidade do avião. A fórmula que relaciona a distância, a velocidade inicial, o tempo e a aceleração é:
y = v0y t + 12 g t^2
Onde:
  • y é a altura (730 m),
  • v0y é a componente vertical da velocidade inicial,
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,8 , m/s^2),
  • t é o tempo (5 s).
Vamos isolar v0y:
v0y = y - 12 g t^2t
Substituindo os valores:
v0y = 730 , m - 12 times 9,8 , m/s^2 times (5 , s)^25 , s
v0y = 730 - 122,55 = 607,55 = 121,5 , m/s

Passo 4

Sabemos que v0y = v cos(57^circ). Já encontramos v0y = 121,5 , m/s. Agora, vamos encontrar a velocidade do avião v:
v = v0ycos(57^circ)
Calculando:
v = 121,5cos(57^circ) approx 121,50,5446 approx 223,1 , m/s

Passo 5

Agora, vamos encontrar a distância horizontal que o pacote percorre durante a queda. A componente horizontal da velocidade permanece constante, já que não há aceleração horizontal (ignoramos resistências como o ar). Usamos:
d = vx t = v sin(57^circ) times t
Substituindo os valores:
d = 223,1 , m/s times sin(57^circ) times 5 , s
d approx 223,1 times 0,8387 times 5 approx 223,1 times 4,1935 approx 936,0 , m

Passo 6

Por fim, vamos determinar as componentes horizontal e vertical da velocidade do pacote no instante que ele atinge o solo. A componente horizontal permanece a mesma:
vx = v sin(57^circ) approx 223,1 times 0,8387 approx 187,0 , m/s
Já a componente vertical no instante final leva em conta a aceleração da gravidade:
vy = v0y + g t = 121,5 , m/s + 9,8 , m/s^2 times 5 , s = 121,5 + 49 = 170,5 , m/s

Resposta

a) A velocidade do avião é aproximadamente 223,1 , m/s.
b) A distância horizontal percorrida pelo pacote é cerca de 936,0 , m.
c) As componentes da velocidade do pacote no instante de impacto são:
vx approx 187,0 , m/s e vy approx 170,5 , m/s

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