Um trem viaja do oeste para o leste a 30 m / s (em relação ao solo) sob uma chuva que o vento impele do oeste para o leste. A trajetória de cada pingo de chuva forma um ângulo de 21,6^circ com a vertical, quando medido por um observador estacionário sobre a Terra. Um passageiro sentado no trem vê, no entanto, traços de chuva deixados na vidraça perfeitamente verticais. Determine a velocidade de cada pingo de chuva em relação à Terra.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um trem que está indo de oeste para leste a 30 m/s em relação ao solo. Tá chovendo, e o vento está empurrando a chuva também de oeste para leste. Para alguém que está parado na Terra, cada gota de chuva faz um ângulo de 21,6° com a vertical. Agora, tem um passageiro no trem que vê as marcas de chuva na janela perfeitamente verticais. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade de cada gota de chuva em relação à Terra. Vamos usar conceitos de cinemática vetorial e referenciais inerciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as velocidades envolvidas. Temos:
  • Velocidade do trem em relação ao solo, Vchuva/trem = Vchuva - Vtrem para leste.
  • Velocidade da chuva em relação ao solo, , que é o que queremos encontrar.
  • Velocidade da chuva em relação ao trem, .
Sabemos que a velocidade da chuva em relação ao trem é a diferença entre a velocidade da chuva em relação ao solo e a velocidade do trem:

Passo 3

O passageiro no trem vê as marcas de chuva na janela perfeitamente verticais. Isso significa que, no referencial do trem, a componente horizontal da velocidade da chuva é zero. Ou seja:
Vchuva/trem,x = 0
Isso nos diz que a componente horizontal da velocidade da chuva em relação ao solo deve ser igual à velocidade do trem:
Vchuva,x = Vtrem = 30 , m/s

Passo 4

Agora, vamos analisar a situação do ponto de vista de um observador estacionário na Terra. Para ele, a trajetória das gotas de chuva forma um ângulo de 21,6° com a vertical. Podemos usar trigonometria para relacionar as componentes horizontal e vertical da velocidade da chuva.
Sabemos que:
tan(theta) = Vchuva,xVchuva,y
Onde:
  • é a componente vertical da velocidade da chuva em relação ao solo.

Passo 5

Vamos resolver para tan(21,6°) = 30Vchuva,y :
tan(21,6°) approx 0,396
Calculando o valor de 0,396 = 30Vchuva,y implies Vchuva,y = 300,396 approx 75,76 , m/s :
Então:

Passo 6

Agora que temos as componentes horizontal e vertical da velocidade da chuva em relação ao solo, podemos encontrar a velocidade total da chuva usando o teorema de Pitágoras:
Vchuva = raizVchuva,x^2 + Vchuva,y^2 = raiz30^2 + 75,76^2
Calculando:
Vchuva = raiz900 + 5760 = raiz6660 approx 81,63 , m/s

Resposta

A velocidade de cada pingo de chuva em relação à Terra é aproximadamente .

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