Um avião, que está voando horizontalmente a uma velocidade constante vo e a uma altitude h, deve deixar cair um pacote de suprimentos para um náufrago em um pequeno barco. Escreva a segunda lei de Newton para o pacote à medida que ele cai do avião, assumindo que você pode desprezar a resistência do ar. Resolva suas equações para determinar a posição do pacote no ar como uma função do tempo t.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um avião voando numa velocidade constante vo, a uma altura h do solo, e ele vai largar um pacote que precisa chegar num barco. A matéria aqui é Leis de Newton, especificamente a Segunda Lei de Newton. Vamos precisar usar as leis do movimento e as equações de cinemática para achar a posição do pacote em função do tempo t.

Passo 2

Primeiro, vamos separar o movimento do pacote em duas partes: horizontal e vertical. Isso porque o avião tá se movendo horizontalmente e a única força agindo verticalmente é a gravidade.

Passo 3

Movimento Horizontal:
Como não tem resistência do ar, não tem força atuando na horizontal. Segundo a segunda lei de Newton, F = m cdot a, se a força F é zero, a aceleração a também é zero. Isso significa que o pacote mantém a velocidade horizontal constante vo.
A posição horizontal x(t) pode ser encontrada usando:
x(t) = vo cdot t

Passo 4

Movimento Vertical:
Aqui, a única força atuando é a gravidade, que puxa o pacote para baixo com aceleração g.
Aplicando a segunda lei de Newton na vertical:
F = m cdot a m cdot g = m cdot ay ay = g
Isso mostra que a aceleração vertical ay é igual à aceleração da gravidade g.

Passo 5

Agora, vamos achar a posição vertical y(t). Usamos a equação de movimento uniformemente acelerado:
y(t) = y0 + vy0 cdot t + 12 ay t^2
Onde:
  • y0 é a posição inicial vertical, que aqui é a altura h.
  • vy0 é a velocidade inicial vertical, que é zero porque o pacote é largado e não tem velocidade vertical no começo.
  • ay é a aceleração vertical, que é g.
Substituindo:
y(t) = h + 0 cdot t + 12 g t^2 y(t) = h - 12 g t^2
(O sinal negativo porque a posição diminui conforme o pacote cai.)

Passo 6

Agora, juntando as duas componentes, a posição do pacote no ar como função do tempo t é dada por:
r(t) = ( vo cdot t ) i + ( h - 12 g t^2 ) j
Onde i e j são os vetores unitários nas direções horizontal e vertical, respectivamente.

Resposta

A posição do pacote em função do tempo t é:
r(t) = ( vo cdot t ) i + ( h - 12 g t^2 ) j

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