Um avião, que está voando horizontalmente a uma velocidade constante
e a uma altitude
, deve deixar cair um pacote de suprimentos para um náufrago em um pequeno barco. Escreva a segunda lei de Newton para o pacote à medida que ele cai do avião, assumindo que você pode desprezar a resistência do ar. Resolva suas equações para determinar a posição do pacote no ar como uma função do tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um avião voando numa velocidade constante
, a uma altura
do solo, e ele vai largar um pacote que precisa chegar num barco. A matéria aqui é Leis de Newton, especificamente a Segunda Lei de Newton. Vamos precisar usar as leis do movimento e as equações de cinemática para achar a posição do pacote em função do tempo
.
Passo 2
Primeiro, vamos separar o movimento do pacote em duas partes: horizontal e vertical. Isso porque o avião tá se movendo horizontalmente e a única força agindo verticalmente é a gravidade.
Passo 3
Movimento Horizontal:
Como não tem resistência do ar, não tem força atuando na horizontal. Segundo a segunda lei de Newton, , se a força
é zero, a aceleração
também é zero. Isso significa que o pacote mantém a velocidade horizontal constante
.
Como não tem resistência do ar, não tem força atuando na horizontal. Segundo a segunda lei de Newton,
A posição horizontal
pode ser encontrada usando:
Passo 4
Movimento Vertical:
Aqui, a única força atuando é a gravidade, que puxa o pacote para baixo com aceleração .
Aqui, a única força atuando é a gravidade, que puxa o pacote para baixo com aceleração
Aplicando a segunda lei de Newton na vertical:
Isso mostra que a aceleração vertical
é igual à aceleração da gravidade
.
Passo 5
Agora, vamos achar a posição vertical
. Usamos a equação de movimento uniformemente acelerado:
Onde:
-
é a posição inicial vertical, que aqui é a altura . -
é a velocidade inicial vertical, que é zero porque o pacote é largado e não tem velocidade vertical no começo. -
é a aceleração vertical, que é .
Substituindo:
(O sinal negativo porque a posição diminui conforme o pacote cai.)
Passo 6
Agora, juntando as duas componentes, a posição do pacote no ar como função do tempo
é dada por:
Onde
e
são os vetores unitários nas direções horizontal e vertical, respectivamente.
Resposta
A posição do pacote em função do tempo
é: