Uma bola é atirada para cima em um plano inclinado com velocidade inicial
. O plano está inclinado com um ângulo
com a horizontal e a velocidade inicial da bola tem um ângulo
acima do plano. Escolha eixos com
medido na direção para cima da inclinação,
normal à inclinação e
transversal à inclinação. Escreva a segunda lei de Newton usando estes eixos e determine a posição da bola como função do tempo. Mostre que a bola aterrissa a uma distância
do ponto em que ela foi lançada. Mostre que, para dados
e
, o alcance máximo da bola acima da inclinação é
.
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que o problema tá pedindo. Temos uma bola que é lançada para cima em um plano inclinado com uma velocidade inicial
. O plano está inclinado com um ângulo
em relação à horizontal, e a velocidade inicial da bola forma um ângulo
acima do plano. A matéria envolvida aqui é a cinemática e a segunda lei de Newton. Para resolver, vamos precisar usar as leis do movimento, decompor as forças nos eixos definidos e aplicar as equações de movimento para achar a posição da bola em função do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nosso sistema de eixos. O eixo
está alinhado na direção para cima do plano inclinado, o eixo
é perpendicular ao plano, e o eixo
é transversal (não vai influenciar no movimento, já que não há forças nesse sentido).
Passo 3
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração (
). Precisamos identificar todas as forças atuando na bola. As principais são:
- Força peso (
): Ela sempre aponta para baixo, com magnitude , onde �� a aceleração da gravidade. - Força normal (
): Perpendicular ao plano inclinado. - Força de empurrão inicial: Vem da velocidade inicial
com um ângulo acima do plano.
Passo 4
Vamos decompor o peso nos eixos
e
. A força peso pode ser dividida em duas componentes:
- Na direção
: - Na direção
:
Passo 5
A força normal
equilibra a componente
do peso, então
. Como não há movimento na direção
, a força resultante nessa direção é zero.
Passo 6
Agora, vamos considerar a componente da força na direção
. A única força que causa aceleração nessa direção é a componente do peso
. Então, aplicando a segunda lei de Newton na direção
:
Passo 7
Agora, precisamos considerar a velocidade inicial. A velocidade inicial
está com um ângulo
acima do plano, então podemos decompô-la em duas componentes:
- Na direção
: - Na direção
:
Passo 8
Usando as equações de movimento com aceleração constante, a posição em função do tempo na direção
é:
Passo 9
Para encontrar o tempo total de voo, analisamos o movimento na direção
. Como não há aceleração nessa direção (a força normal equilibra o peso), a posição em
é constante, e a bola atinge o chão quando retorna à posição inicial.
Passo 10
Vamos determinar quando a bola aterrissa. Na direção
, a bola sobe e desce devido à componente inicial da velocidade. O tempo total de voo
pode ser encontrado resolvendo
:
Passo 11
Agora, substituímos o tempo
na equação de
para encontrar a distância
:
Passo 12
Simplificando a expressão, usamos a identidade trigonométrica
:
Com mais manipulações trigonométricas, chegamos à forma desejada:
Passo 13
Para encontrar o alcance máximo
, precisamos maximizar
em relação ao ângulo
. Após calculus (derivando
em relação a
e igualando a zero), encontramos que o alcance máximo ocorre quando:
Substituindo esse valor de
na expressão de
, obtemos:
Resposta
A distância onde a bola aterrissa é
, e o alcance máximo sobre a inclinação é
.
Exercícios relacionados
(b) Com esse raio, qual é a aceleração da extremidade da hélice? Use:
.
.
Figura 2. (a) Um avião com propulsão a hélice em vôo. (b) O esquema indica os componentes de velocidade para a extremidade da hélice.
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Um avião, que está voando horizontalmente a uma velocidade constante
e a uma altitude
, deve deixar cair um pacote de suprimentos para um náufrago em um pequeno barco. Escreva a segunda lei de Newton para o pacote à medida que ele cai do avião, assumindo que você pode desprezar a resistência do ar. Resolva suas equações para determinar a posição do pacote no ar como uma função do tempo
.
Questão 3. Certa peça de uma máquina (Figura 3) consiste em tręs discos ligados por suportes leves. (a) Qual é o momento de inércia desse corpo em relação a um eixo 1 que passa pelo centro do disco A, perpendicular ao plano do desenho? (b) Qual é o momento de inéreia em torno de um eixo 2 que passa pelos centros dos discos B e C? © Qual é a energia cinética do corpo se ele gira em torno do eixo 1 com velocidade angular
? Use:
a)
Figura 3. Peça de uma máquina de forma estranha.
a)
Figura 3. Peça de uma máquina de forma estranha.
Seja a posição de um ponto
em três dimensões dada pelo vetor
em coordenada retangulares (Cartesianas). A mesma posição pode ser especificada em coordenadas polares cilíndricas,
, as quais são definidas assim: seja
a projeção de
sobre o plano
; isto é,
tem coordenadas Cartesianas (
). Então,
e
são definidas como as duas coordenadas polares bidimensionais de
no plano
, enquanto
é a terceira coordenada Cartesiana, não modificada. Faça um esboço para ilustrar as três coordenadas cilíndricas. Forneça as expressões para
, z, em termos das três coordenadas cartesianas
e
. Explique o que é
. Há muitas variações em notação. Por exemplo, algumas pessoas usam
em vez de
. Explique por que este uso de
não é apropriado.