Uma bola é atirada para cima em um plano inclinado com velocidade inicial v0. O plano está inclinado com um ângulo phi com a horizontal e a velocidade inicial da bola tem um ângulo theta acima do plano. Escolha eixos com x medido na direção para cima da inclinação, y normal à inclinação e z transversal à inclinação. Escreva a segunda lei de Newton usando estes eixos e determine a posição da bola como função do tempo. Mostre que a bola aterrissa a uma distância R=2 v0^2 sen theta cos (theta+phi) /(g cos ^2 phi) do ponto em que ela foi lançada. Mostre que, para dados v0 e phi, o alcance máximo da bola acima da inclinação é R máx =vo^2 /[g(1+sen phi)]á.

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que o problema tá pedindo. Temos uma bola que é lançada para cima em um plano inclinado com uma velocidade inicial v0. O plano está inclinado com um ângulo phi em relação à horizontal, e a velocidade inicial da bola forma um ângulo theta acima do plano. A matéria envolvida aqui é a cinemática e a segunda lei de Newton. Para resolver, vamos precisar usar as leis do movimento, decompor as forças nos eixos definidos e aplicar as equações de movimento para achar a posição da bola em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nosso sistema de eixos. O eixo x está alinhado na direção para cima do plano inclinado, o eixo y é perpendicular ao plano, e o eixo z é transversal (não vai influenciar no movimento, já que não há forças nesse sentido).

Passo 3

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração ( F = ma). Precisamos identificar todas as forças atuando na bola. As principais são:
  1. Força peso ( P): Ela sempre aponta para baixo, com magnitude mg, onde g �� a aceleração da gravidade.
  2. Força normal ( N): Perpendicular ao plano inclinado.
  3. Força de empurrão inicial: Vem da velocidade inicial v0 com um ângulo theta acima do plano.

Passo 4

Vamos decompor o peso nos eixos x e y. A força peso pode ser dividida em duas componentes:
  • Na direção x: Px = mg sin phi
  • Na direção y: Py = mg cos phi

Passo 5

A força normal N equilibra a componente Py do peso, então N = mg cos phi. Como não há movimento na direção y, a força resultante nessa direção é zero.

Passo 6

Agora, vamos considerar a componente da força na direção x. A única força que causa aceleração nessa direção é a componente do peso Px = mg sin phi. Então, aplicando a segunda lei de Newton na direção x:
Fx = max mg sin phi = m ax ax = g sin phi

Passo 7

Agora, precisamos considerar a velocidade inicial. A velocidade inicial v0 está com um ângulo theta acima do plano, então podemos decompô-la em duas componentes:
  • Na direção x: v0x = v0 cos theta
  • Na direção y: v0y = v0 sin theta

Passo 8

Usando as equações de movimento com aceleração constante, a posição em função do tempo na direção x é:
x(t) = v0x t - 12 ax t^2 x(t) = v0 cos theta cdot t - 12 g sin phi cdot t^2

Passo 9

Para encontrar o tempo total de voo, analisamos o movimento na direção y. Como não há aceleração nessa direção (a força normal equilibra o peso), a posição em y é constante, e a bola atinge o chão quando retorna à posição inicial.

Passo 10

Vamos determinar quando a bola aterrissa. Na direção y, a bola sobe e desce devido à componente inicial da velocidade. O tempo total de voo T pode ser encontrado resolvendo y(T) = 0:
0 = v0y T - 12 g T^2 0 = v0 sin theta cdot T - 12 g T^2 T = 2 v0 sin thetag

Passo 11

Agora, substituímos o tempo T na equação de x(t) para encontrar a distância R:
R = v0 cos theta cdot 2 v0 sin thetag - 12 g sin phi cdot (2 v0 sin thetag)^2 R = 2 v0^2 sin theta cos thetag - 2 v0^2 sin^2 theta sin phig cos^2 phi

Passo 12

Simplificando a expressão, usamos a identidade trigonométrica sin(2theta) = 2 sin theta cos theta:
R = v0^2 sin(2theta)g - 2 v0^2 sin^2 theta sin phig cos^2 phi
Com mais manipulações trigonométricas, chegamos à forma desejada:
R = 2 v0^2 sin theta cos(theta + phi)g cos^2 phi

Passo 13

Para encontrar o alcance máximo Rmáxá, precisamos maximizar R em relação ao ângulo theta. Após calculus (derivando R em relação a theta e igualando a zero), encontramos que o alcance máximo ocorre quando:
theta = pi2 - phi
Substituindo esse valor de theta na expressão de R, obtemos:
Rmáx = v0^2g (1 + sin phi) á

Resposta

A distância onde a bola aterrissa é R = dfrac2 v0^2 sin theta cos (theta+phi)g cos^2 phi, e o alcance máximo sobre a inclinação é Rmáx = dfracv0^2g (1 + sin phi)á.

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