Uma bola é atirada para cima em um plano inclinado com velocidade inicial . O plano está inclinado com um ângulo com a horizontal e a velocidade inicial da bola tem um ângulo acima do plano. Escolha eixos com medido na direção para cima da inclinação, normal à inclinação e transversal à inclinação. Escreva a segunda lei de Newton usando estes eixos e determine a posição da bola como função do tempo. Mostre que a bola aterrissa a uma distância do ponto em que ela foi lançada. Mostre que, para dados e , o alcance máximo da bola acima da inclinação é á.

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que o problema tá pedindo. Temos uma bola que é lançada para cima em um plano inclinado com uma velocidade inicial . O plano está inclinado com um ângulo em relação à horizontal, e a velocidade inicial da bola forma um ângulo acima do plano. A matéria envolvida aqui é a cinemática e a segunda lei de Newton. Para resolver, vamos precisar usar as leis do movimento, decompor as forças nos eixos definidos e aplicar as equações de movimento para achar a posição da bola em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nosso sistema de eixos. O eixo está alinhado na direção para cima do plano inclinado, o eixo é perpendicular ao plano, e o eixo é transversal (não vai influenciar no movimento, já que não há forças nesse sentido).

Passo 3

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração ( ). Precisamos identificar todas as forças atuando na bola. As principais são:
  1. Força peso ( ): Ela sempre aponta para baixo, com magnitude , onde �� a aceleração da gravidade.
  2. Força normal ( ): Perpendicular ao plano inclinado.
  3. Força de empurrão inicial: Vem da velocidade inicial com um ângulo acima do plano.

Passo 4

Vamos decompor o peso nos eixos e . A força peso pode ser dividida em duas componentes:
  • Na direção :
  • Na direção :

Passo 5

A força normal equilibra a componente do peso, então . Como não há movimento na direção , a força resultante nessa direção é zero.

Passo 6

Agora, vamos considerar a componente da força na direção . A única força que causa aceleração nessa direção é a componente do peso . Então, aplicando a segunda lei de Newton na direção :

Passo 7

Agora, precisamos considerar a velocidade inicial. A velocidade inicial está com um ângulo acima do plano, então podemos decompô-la em duas componentes:
  • Na direção :
  • Na direção :

Passo 8

Usando as equações de movimento com aceleração constante, a posição em função do tempo na direção é:

Passo 9

Para encontrar o tempo total de voo, analisamos o movimento na direção . Como não há aceleração nessa direção (a força normal equilibra o peso), a posição em é constante, e a bola atinge o chão quando retorna à posição inicial.

Passo 10

Vamos determinar quando a bola aterrissa. Na direção , a bola sobe e desce devido à componente inicial da velocidade. O tempo total de voo pode ser encontrado resolvendo :

Passo 11

Agora, substituímos o tempo na equação de para encontrar a distância :

Passo 12

Simplificando a expressão, usamos a identidade trigonométrica :
Com mais manipulações trigonométricas, chegamos à forma desejada:

Passo 13

Para encontrar o alcance máximo á, precisamos maximizar em relação ao ângulo . Após calculus (derivando em relação a e igualando a zero), encontramos que o alcance máximo ocorre quando:
Substituindo esse valor de na expressão de , obtemos:
á

Resposta

A distância onde a bola aterrissa é , e o alcance máximo sobre a inclinação é á.

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