Axiomas de Incidência, e Ordem
Diz-se que três ou mais pontos são colineares quando eles todos pertencem a uma mesma reta. Do contrário, diz-se que eles são não colineares. Mostre que três pontos não colineares determinam três retas. Quantas retas são determinadas por quatro pontos, sendo que quaisquer três deles são não colineares?
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria sobre pontos e retas. O enunciado fala sobre pontos colineares e não colineares, e nos pede para mostrar que três pontos não colineares determinam três retas. Além disso, queremos saber quantas retas são formadas por quatro pontos, onde qualquer três deles não estão na mesma reta. Para resolver isso, vamos precisar entender como pontos e retas se relacionam e como calcular combinações de pontos para formar retas.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que significa pontos serem colineares ou não colineares. Se três pontos são colineares, isso quer dizer que todos eles estão na mesma reta. Se não são colineares, nenhuma reta única pode passar por todos os três ao mesmo tempo.
Passo 3
Para mostrar que três pontos não colineares determinam três retas, vamos imaginar que temos três pontos que não estão todos na mesma reta. Cada par de pontos define uma reta única. Então, se temos três pontos não colineares, podemos formar três pares distintos de pontos, cada um formando uma reta diferente.
Passo 4
Vamos listar os pares de pontos:
Primeiro e segundo pontos formam a primeira reta.
Primeiro e terceiro pontos formam a segunda reta.
Segundo e terceiro pontos formam a terceira reta.
Como nenhum desses pares está na mesma reta (já que os pontos não são colineares), temos três retas distintas.
Passo 5
Agora, queremos saber quantas retas são determinadas por quatro pontos, onde qualquer três deles não são colineares. Aqui, usamos uma combinação matemática para calcular quantas retas diferentes podemos formar com quatro pontos.
Passo 6
A fórmula para determinar o número de retas formadas por n pontos onde nenhum três são colineares é a combinação de n elementos tomados 2 a 2, que é:
Para n = 4:
Resposta
São determinadas 6 retas por quatro pontos, sendo que quaisquer três deles são não colineares.