Mostre que a interseção de
semi-planos é ainda um convexo.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente mostrar que a interseção de
semiplanos é ainda um conjunto convexo. Vamos trabalhar com geometria analítica e entender o que é um semiplano e convexidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um semiplano. Um semiplano é uma das duas partes que um plano é dividido por uma reta. Imagina uma reta na folha de papel, os lados direito e esquerdo dessa reta são os semiplanos.
Passo 3
Agora, o que é um conjunto convexo? Um conjunto é convexo se, para quaisquer dois pontos dentro dele, o segmento de reta que os une também está totalmente dentro do conjunto. Tipo, se você pegar dois pontos no conjunto e desenhar uma linha entre eles, essa linha não sai do conjunto.
Passo 4
Vamos mostrar que um semiplano é convexo. Pegue dois pontos em um semiplano. Como os semiplanos são definidos por desigualdades lineares, qualquer combinação linear desses dois pontos também vai satisfazer a mesma desigualdade, ou seja, o segmento entre eles fica dentro do semiplano. Logo, semiplanos são convexos.
Passo 5
Sabemos que a interseção de conjuntos convexos é também convexa. Isso porque, se você pegar dois pontos na interseção, eles estão em todos os conjuntos convexos que estão sendo intersectados, e o segmento entre eles também estará em todos esses conjuntos. Assim, o segmento estará na interseção.
Passo 6
Como cada semiplano é convexo (como mostramos no Passo 4) e a interseção deles mantém a convexidade (como no Passo 5), concluímos que a interseção de
semiplanos é um conjunto convexo.
Resposta
Portanto, demonstramos que a interseção de
semiplanos é um conjunto convexo.
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Axiomas de Incidência, e Ordem
Diz-se que três ou mais pontos são colineares quando eles todos pertencem a uma mesma reta. Do contrário, diz-se que eles são não colineares. Mostre que três pontos não colineares determinam três retas. Quantas retas são determinadas por quatro pontos, sendo que quaisquer três deles são não colineares?
Diz-se que três ou mais pontos são colineares quando eles todos pertencem a uma mesma reta. Do contrário, diz-se que eles são não colineares. Mostre que três pontos não colineares determinam três retas. Quantas retas são determinadas por quatro pontos, sendo que quaisquer três deles são não colineares?
Seja
operador linear de rotação de uma ângulo
em torno do eixo
definido por
Mostre que
é um operador ortogonal e verifique que
preserva produto interno.
Seja
operador linear de rotação de uma ângulo
em torno do eixo
definido por
Mostre que
é um operador ortogonal e verifique que
preserva norma.
Sejam
e
conjuntos. Use o axioma
para mostrar que
é um conjunto.