Mostre que a interseção de
semi-planos é ainda um convexo.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente mostrar que a interseção de
semiplanos é ainda um conjunto convexo. Vamos trabalhar com geometria analítica e entender o que é um semiplano e convexidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um semiplano. Um semiplano é uma das duas partes que um plano é dividido por uma reta. Imagina uma reta na folha de papel, os lados direito e esquerdo dessa reta são os semiplanos.
Passo 3
Agora, o que é um conjunto convexo? Um conjunto é convexo se, para quaisquer dois pontos dentro dele, o segmento de reta que os une também está totalmente dentro do conjunto. Tipo, se você pegar dois pontos no conjunto e desenhar uma linha entre eles, essa linha não sai do conjunto.
Passo 4
Vamos mostrar que um semiplano é convexo. Pegue dois pontos em um semiplano. Como os semiplanos são definidos por desigualdades lineares, qualquer combinação linear desses dois pontos também vai satisfazer a mesma desigualdade, ou seja, o segmento entre eles fica dentro do semiplano. Logo, semiplanos são convexos.
Passo 5
Sabemos que a interseção de conjuntos convexos é também convexa. Isso porque, se você pegar dois pontos na interseção, eles estão em todos os conjuntos convexos que estão sendo intersectados, e o segmento entre eles também estará em todos esses conjuntos. Assim, o segmento estará na interseção.
Passo 6
Como cada semiplano é convexo (como mostramos no Passo 4) e a interseção deles mantém a convexidade (como no Passo 5), concluímos que a interseção de
semiplanos é um conjunto convexo.
Resposta
Portanto, demonstramos que a interseção de
semiplanos é um conjunto convexo.