Seja um operador linear cuja matriz com relação à base canônica é
O operador é autoadjunto ou ortogonal? O operador é diagonalizável? Em caso afirmativo, exiba uma base ortonormal de autovalores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa analisar um operador linear representado por uma matriz específica. Nosso objetivo é descobrir se esse operador é autoadjunto ou ortogonal, além de verificar se ele é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes simétricas, ortogonalidade e diagonalização, além de trabalhar com autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o operador é autoadjunto, ou seja, se a matriz é igual à sua transposta. Uma matriz autoadjunta é simétrica, então vamos conferir se a matriz dada é simétrica.
A matriz de é:
A transposta de é:
Como , a matriz é simétrica. Portanto, o operador é autoadjunto.
Passo 3
Agora, vamos verificar se é ortogonal. Um operador é ortogonal se a matriz satisfaz , onde é a matriz identidade.
Vamos calcular :
Realizando a multiplicação:
Calculando os elementos:
Como não é igual à matriz identidade , o operador não é ortogonal.
Passo 4
Agora, vamos verificar se é diagonalizável. Uma matriz real e simétrica (como no nosso caso) é sempre diagonalizável e possui uma base de autovetores ortonormais. Portanto, já sabemos que é diagonalizável.
Para encontrar uma base ortonormal de autovalores, precisamos encontrar os autovalores e autovetores de .
Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo o determinante :
Resolvendo essa equação cúbica, encontramos os autovalores .
Após encontrar os autovalores, para cada , resolvemos para encontrar os autovetores.
Por fim, aplicamos o processo de normalização e ortogonalização (como o processo de Gram-Schmidt) para garantir que os autovetores formem uma base ortonormal.
Resposta
O operador é autoadjunto e diagonalizável. Além disso, existe uma base ortonormal formada pelos autovetores de .