Seja T: R^3 R^3 um operador linear cuja matriz com relação à base canônica é
[ccc 1 & 4 & 2 4 & 5 & -4 2 & -4 & 1 ]
O operador T é autoadjunto ou ortogonal? O operador T é diagonalizável? Em caso afirmativo, exiba uma base ortonormal de autovalores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa analisar um operador linear representado por uma matriz específica. Nosso objetivo é descobrir se esse operador é autoadjunto ou ortogonal, além de verificar se ele é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes simétricas, ortogonalidade e diagonalização, além de trabalhar com autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o operador A = 1 & 4 & 2 4 & 5 & -4 2 & -4 & 1 é autoadjunto, ou seja, se a matriz é igual à sua transposta. Uma matriz autoadjunta é simétrica, então vamos conferir se a matriz dada é simétrica.
A matriz de A^T = 1 & 4 & 2 4 & 5 & -4 2 & -4 & 1 é:
A transposta de é:
Como , a matriz é simétrica. Portanto, o operador é autoadjunto.

Passo 3

Agora, vamos verificar se A^T A = 1 & 4 & 2 4 & 5 & -4 2 & -4 & 1 1 & 4 & 2 4 & 5 & -4 2 & -4 & 1 é ortogonal. Um operador é ortogonal se a matriz A^T A = 1*1 + 4*4 + 2*2 & 1*4 + 4*5 + 2*(-4) & 1*2 + 4*(-4) + 2*1 4*1 + 5*4 + (-4)*2 & 4*4 + 5*5 + (-4)*(-4) & 4*2 + 5*(-4) + (-4)*1 2*1 + (-4)*4 + 1*2 & 2*4 + (-4)*5 + 1*(-4) & 2*2 + (-4)*(-4) + 1*1 satisfaz A^T A = 1 + 16 + 4 & 4 + 20 - 8 & 2 - 16 + 2 4 + 20 - 8 & 16 + 25 + 16 & 8 - 20 - 4 2 - 16 + 2 & 8 - 20 - 4 & 4 + 16 + 1 = 21 & 16 & -12 16 & 57 & -16 -12 & -16 & 21 , onde é a matriz identidade.
Vamos calcular :
Realizando a multiplicação:
Calculando os elementos:
Como não é igual à matriz identidade , o operador não é ortogonal.

Passo 4

Agora, vamos verificar se det( 1 - lambda & 4 & 2 4 & 5 - lambda & -4 2 & -4 & 1 - lambda ) = 0 é diagonalizável. Uma matriz real e simétrica (como no nosso caso) é sempre diagonalizável e possui uma base de autovetores ortonormais. Portanto, já sabemos que é diagonalizável.
Para encontrar uma base ortonormal de autovalores, precisamos encontrar os autovalores e autovetores de .
Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo o determinante :
Resolvendo essa equação cúbica, encontramos os autovalores .
Após encontrar os autovalores, para cada , resolvemos para encontrar os autovetores .
Por fim, aplicamos o processo de normalização e ortogonalização (como o processo de Gram-Schmidt) para garantir que os autovetores formem uma base ortonormal.

Resposta

O operador é autoadjunto e diagonalizável. Além disso, existe uma base ortonormal formada pelos autovetores de .

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