Seja T: R^3 R^3 operador linear de rotação de uma ângulo theta em torno do eixo z definido por
T(x, y, z)=(x cos theta-y sin theta, x sin theta+y cos theta, z)
Mostre que T é um operador ortogonal e verifique que Tpreserva norma.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. Temos um operador linear T(x, y, z) = (x cos theta - y sin theta, , x sin theta + y cos theta, , z) que representa uma rotação de um ângulo em torno do eixo . A função está definida por:
O que precisamos fazer é mostrar que é um operador ortogonal e verificar se ele preserva a norma dos vetores. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes de transformação, matrizes ortogonais e propriedades das normas vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador ortogonal. Um operador linear é ortogonal se a matriz que o representa é uma matriz ortogonal. E uma matriz é ortogonal se a sua transposta é igual à sua inversa, ou seja, . Outra forma de verificar é que as colunas (ou linhas) da matriz são vetores ortonormais.
Vamos começar identificando a matriz que representa o operador .

Passo 3

A matriz de rotação em torno do eixo A = cos theta & -sin theta & 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 no espaço tridimensional é dada por:
Essa matriz corresponde exatamente à transformação que foi definida no enunciado. Agora, vamos verificar se essa matriz é ortogonal.

Passo 4

Para verificar se A^T A = I é ortogonal, precisamos mostrar que:
A^T = cos theta & sin theta & 0 -sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1
Onde A^T A = cos theta & sin theta & 0 -sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 cos theta & -sin theta & 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 é a transposta de e é a matriz identidade. Vamos calcular .
A transposta de é:
Agora, multiplicamos por :

Passo 5

Vamos realizar a multiplicação das matrizes:
A^T A = cos^2 theta + sin^2 theta & -cos theta sin theta + sin theta cos theta & 0 -sin theta cos theta + cos theta sin theta & sin^2 theta + cos^2 theta & 0 0 & 0 & 1
Simplificando os termos:
A^T A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = I
Como , a matriz é ortogonal. Portanto, o operador é um operador ortogonal.

Passo 6

Agora, vamos verificar se | v | = raizx^2 + y^2 + z^2 preserva a norma dos vetores. Isso significa que, para qualquer vetor T(v) = (x cos theta - y sin theta, , x sin theta + y cos theta, , z) , a norma de | T(v) | = raiz(x cos theta - y sin theta)^2 + (x sin theta + y cos theta)^2 + z^2 deve ser igual à norma de .
A norma de um vetor é dada por:
Vamos calcular a norma de :
A norma de é:

Passo 7

Vamos expandir os termos dentro da raiz:
(x cos theta - y sin theta)^2 = x^2 cos^2 theta - 2xy cos theta sin theta + y^2 sin^2 theta
(x sin theta + y cos theta)^2 = x^2 sin^2 theta + 2xy sin theta cos theta + y^2 cos^2 theta
Somando esses dois resultados:
x^2 cos^2 theta - 2xy cos theta sin theta + y^2 sin^2 theta + x^2 sin^2 theta + 2xy sin theta cos theta + y^2 cos^2 theta = x^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) + y^2 (sin^2 theta + cos^2 theta)
Simplificando usando x^2 (1) + y^2 (1) = x^2 + y^2 :
| T(v) | = raizx^2 + y^2 + z^2 = | v |
Portanto, a norma de fica:

Resposta

O operador é ortogonal e preserva a norma dos vetores.

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