Seja operador linear de rotação de uma ângulo em torno do eixo definido por
Mostre que é um operador ortogonal e verifique que preserva norma.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício pede. Temos um operador linear que representa uma rotação de um ângulo em torno do eixo . A função está definida por:
O que precisamos fazer é mostrar que é um operador ortogonal e verificar se ele preserva a norma dos vetores. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes de transformação, matrizes ortogonais e propriedades das normas vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador ortogonal. Um operador linear é ortogonal se a matriz que o representa é uma matriz ortogonal. E uma matriz é ortogonal se a sua transposta é igual à sua inversa, ou seja, . Outra forma de verificar é que as colunas (ou linhas) da matriz são vetores ortonormais.
Vamos começar identificando a matriz que representa o operador .
Passo 3
A matriz de rotação em torno do eixo no espaço tridimensional é dada por:
Essa matriz corresponde exatamente à transformação que foi definida no enunciado. Agora, vamos verificar se essa matriz é ortogonal.
Passo 4
Para verificar se é ortogonal, precisamos mostrar que:
Onde é a transposta de e é a matriz identidade. Vamos calcular .
A transposta de é:
Agora, multiplicamos por :
Passo 5
Vamos realizar a multiplicação das matrizes:
Simplificando os termos:
Como , a matriz é ortogonal. Portanto, o operador é um operador ortogonal.
Passo 6
Agora, vamos verificar se preserva a norma dos vetores. Isso significa que, para qualquer vetor , a norma de deve ser igual à norma de .
A norma de um vetor é dada por:
Vamos calcular a norma de :
A norma de é:
Passo 7
Vamos expandir os termos dentro da raiz:
Somando esses dois resultados:
Simplificando usando :
Portanto, a norma de fica:
Resposta
O operador é ortogonal e preserva a norma dos vetores.