Seja operador linear de rotação de uma ângulo em torno do eixo definido por
Mostre que é um operador ortogonal e verifique que preserva produto interno.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o operador linear , que faz uma rotação no espaço tridimensional em torno do eixo com um ângulo , é um operador ortogonal. Além disso, precisamos verificar que preserva o produto interno (ou produto escalar). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes ortogonais e propriedades do produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser um operador ortogonal. Um operador linear é ortogonal se a matriz que o representa satisfaz , onde é a transposta de e é a matriz identidade. Isso garante que preserva comprimentos e ângulos.
Vamos escrever a matriz de . A transformação dada é:
Então, a matriz de é:
Passo 3
Agora, vamos calcular A^T = cos theta & sin theta & 0 -sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 :
A^T A = cos theta & sin theta & 0 -sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 cos theta & -sin theta & 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1
Isso mostra que , então é uma matriz ortogonal e, consequentemente, é um operador ortogonal.
Passo 4
Agora, vamos verificar que lang<= u, v rang<= = ux vx + uy vy + uz vz preserva o produto interno. Pelo que já mostramos, como T(u) = (ux cos theta - uy sin theta, ux sin theta + uy cos theta, uz) é ortogonal, ele automaticamente preserva o produto interno. Mas vamos verificar isso diretamente para entender melhor.
Considere dois vetores T(v) = (vx cos theta - vy sin theta, vx sin theta + vy cos theta, vz) e lang<= T(u), T(v) rang<= = (ux cos theta - uy sin theta)(vx cos theta - vy sin theta) + (ux sin theta + uy cos theta)(vx sin theta + vy cos theta) + uz vz . O produto interno padrão em = ux vx cos^2 theta - ux vy cos theta sin theta - uy vx sin theta cos theta + uy vy sin^2 theta + ux vx sin^2 theta + ux vy sin theta cos theta + uy vx cos theta sin theta + uy vy cos^2 theta + uz vz é:
= ux vx (cos^2 theta + sin^2 theta) + uy vy (sin^2 theta + cos^2 theta) + uz vz
Aplicando = ux vx + uy vy + uz vz = lang<= u, v rang<= nesses vetores:
Calculando o produto interno de e :
Desenvolvendo os termos:
Observando que alguns termos se cancelam:
Como :
Isso mostra que , ou seja, preserva o produto interno.
Resposta
Concluímos que o operador linear é ortogonal e que preserva o produto interno no espaço .