Seja operador linear de rotação de uma ângulo em torno do eixo definido por
Mostre que é um operador ortogonal e verifique que preserva produto interno.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o operador linear , que faz uma rotação no espaço tridimensional em torno do eixo com um ângulo , é um operador ortogonal. Além disso, precisamos verificar que preserva o produto interno (ou produto escalar). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes ortogonais e propriedades do produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser um operador ortogonal. Um operador linear é ortogonal se a matriz que o representa satisfaz , onde é a transposta de e é a matriz identidade. Isso garante que preserva comprimentos e ângulos.
Vamos escrever a matriz de . A transformação dada é:
Então, a matriz de é:

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Multiplicando por :
Realizando a multiplicação:
Sabemos que , então:
Isso mostra que , então é uma matriz ortogonal e, consequentemente, é um operador ortogonal.

Passo 4

Agora, vamos verificar que preserva o produto interno. Pelo que já mostramos, como é ortogonal, ele automaticamente preserva o produto interno. Mas vamos verificar isso diretamente para entender melhor.
Considere dois vetores e . O produto interno padrão em é:
Aplicando nesses vetores:
Calculando o produto interno de e :
Desenvolvendo os termos:
Observando que alguns termos se cancelam:
Como :
Isso mostra que , ou seja, preserva o produto interno.

Resposta

Concluímos que o operador linear é ortogonal e que preserva o produto interno no espaço .

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