(b) [1 pt] Os pontos são vértices de um triângulo. Determine a alturado triângulo relativo ao vértice .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço: , e , que formam um triângulo. O que a gente precisa fazer é encontrar a altura desse triângulo que parte do vértice . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor que vai de até , que a gente chama de . Isso vai nos dar a direção da base do triângulo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor que vai de até , que é . Esse vetor vai nos ajudar a calcular a altura.

Passo 4

Para achar a altura, a gente precisa calcular a distância do ponto até a reta que passa por e . A fórmula para essa distância envolve o produto vetorial dos vetores e , e fica assim:

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial :
Agora, o módulo desse vetor:
E o módulo de :
Então, a altura é:

Resposta

A altura do triângulo relativa ao vértice é unidades.

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