Dado os vetores e do . Determine: o vetor vetor pertence a .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores no espaço : , e . A pergunta é: o vetor pertence ao conjunto , que é formado por combinações lineares desses três vetores? Para descobrir isso, vamos usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que dizer que pertence a significa que existe uma combinação dos vetores , e que resulta em . Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:
Vamos escrever isso componente por componente:
Passo 3
Agora, temos um sistema de quatro equações com três incógnitas. Vamos resolver esse sistema para ver se existe uma solução. Podemos simplificar e resolver usando métodos como substituição ou eliminação. Vamos começar simplificando as equações.
Da primeira equação:
Da quarta equação:
Observamos que a equação (4) é o dobro da equação (1), então elas são dependentes. Vamos focar nas outras duas equações para encontrar .
Passo 4
Pegando a segunda e terceira equações:
Vamos somar as equações (2) e (3):
Isso significa que as equações (2) e (3) não nos dão informação nova, portanto, o sistema tem infinitas soluções. Vamos usar a equação (1) para expressar em termos de :
Passo 5
Agora, substituímos na equação (2):
Multiplicando tudo por 2 para eliminar frações:
Passo 6
Agora, temos uma equação com duas incógnitas ( e ). Podemos escolher um valor para uma das variáveis e resolver para a outra. Vamos, por exemplo, assumir :
Substituindo na expressão de :
Então, uma solução é:
Resposta
Sim, o vetor pertence a , pois existe uma combinação linear dos vetores , e que resulta em .