Dado os vetores v1 = (2, -1, 1, 4), v2 = (3, 3, -3, 6) e v3 = (0,4,-4,0) do R^4. Determine: 1 pt o vetor u = (1, -1, 1, 2) vetor pertence a S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores no espaço : , e . A pergunta é: o vetor pertence ao conjunto , que é formado por combinações lineares desses três vetores? Para descobrir isso, vamos usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que dizer que pertence a significa que existe uma combinação dos vetores , e que resulta em . Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:
Vamos escrever isso componente por componente:

Passo 3

Agora, temos um sistema de quatro equações com três incógnitas. Vamos resolver esse sistema para ver se existe uma solução. Podemos simplificar e resolver usando métodos como substituição ou eliminação. Vamos começar simplificando as equações.
Da primeira equação:
Da quarta equação:
Observamos que a equação (4) é o dobro da equação (1), então elas são dependentes. Vamos focar nas outras duas equações para encontrar .

Passo 4

Pegando a segunda e terceira equações:
Vamos somar as equações (2) e (3):
Isso significa que as equações (2) e (3) não nos dão informação nova, portanto, o sistema tem infinitas soluções. Vamos usar a equação (1) para expressar em termos de :

Passo 5

Agora, substituímos na equação (2):
Multiplicando tudo por 2 para eliminar frações:

Passo 6

Agora, temos uma equação com duas incógnitas ( e ). Podemos escolher um valor para uma das variáveis e resolver para a outra. Vamos, por exemplo, assumir :
Substituindo na expressão de :
Então, uma solução é:

Resposta

Sim, o vetor pertence a , pois existe uma combinação linear dos vetores , e que resulta em .

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