Dado os vetores v1 = (2, -1, 1, 4), v2 = (3, 3, -3, 6) e v3 = (0,4,-4,0) do R^4. Determine: [1,5] pts] o subespaço S gerado pelos vetores {v1, v2, v3}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos o subespaço gerado pelos vetores , e no . Isso está relacionado ao conteúdo de subespaços vetoriais e span na matéria de Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar verificar se os vetores são linearmente independentes e, se não forem, encontrar uma base para .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna:

Passo 3

Agora, vamos realizar operações de linha para reduzir essa matriz e verificar se os vetores são linearmente independentes. Se conseguirmos uma coluna sem pivô, isso indica dependência linear.
Após aplicar as operações, suponhamos que encontramos um pivô em cada coluna até a terceira coluna, mas percebemos que o terceiro vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos dois primeiros. Isso significa que é dependente de e .

Passo 4

Como é dependente, podemos descartar ele e usar apenas e como base. Assim, a base para o subespaço é formada por e .

Resposta

O subespaço gerado por no é dado por todas as combinações lineares de e . Portanto, uma base para é , e a dimensão de é 2.

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