Calcule o volume do conjunto e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o volume do conjunto de pontos que satisfazem duas condições:
  1. : Isso descreve uma superfície cônica, onde é maior ou igual à distância do ponto ao eixo . Basicamente, é um cone que se abre para cima.
  2. : Essa é a equação de uma esfera, mas vamos rearranjar para entender melhor.
Para resolver esse problema, vamos precisar usar coordenadas esféricas ou cilíndricas para facilitar a integração, já que as formas envolvidas são simétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação da esfera para entender melhor sua posição no espaço.
A equação pode ser reescrita completando o quadrado:
Isso mostra que é uma esfera com centro no ponto e raio .

Passo 3

Agora, vamos visualizar as duas superfícies:
  • O cone tem seu vértice na origem e se abre para cima.
  • A esfera está centrada em e toca a origem, já que seu raio é .
O volume que queremos é a região onde essas duas superfícies se sobrepõem, ou seja, os pontos que estão dentro da esfera e acima do cone.

Passo 4

Para calcular o volume, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que as superfícies têm simetria circular.
Nas coordenadas cilíndricas:
A equação do cone fica:
E a equação da esfera, substituindo :

Passo 5

Vamos resolver a equação da esfera para :
Como deve ser positivo e menor que , consideramos:
Isso representa a parte superior da esfera.

Passo 6

O limite superior para é a esfera, e o limite inferior é o cone. Portanto, o intervalo para é de até .
Além disso, o valor de varia de 0 até o ponto onde o cone e a esfera se intersectam.
Vamos encontrar esse ponto de interseção definindo na equação da esfera:
Então, varia de 0 a .

Passo 7

Agora, montamos a integral em coordenadas cilíndricas para calcular o volume :
Aqui, dentro da integral de é o elemento de área na coordenada cilíndrica.

Passo 8

Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 9

Vamos separar a integral em três partes:
Calculamos cada uma separadamente.

Passo 10

Calculando cada parte:
Fazemos a substituição , , então:

Passo 11

Agora, somamos as partes com o fator :

Resposta

O volume do conjunto é .

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Dado os vetores e do . Determine: pts] o subespaço gerado pelos vetores .
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Determine o valor da soma .
Calcule o valor da soma .