Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o volume do conjunto de pontos que satisfazem duas condições:
: Isso descreve uma superfície cônica, onde é maior ou igual à distância do ponto ao eixo . Basicamente, é um cone que se abre para cima.
: Essa é a equação de uma esfera, mas vamos rearranjar para entender melhor.
Para resolver esse problema, vamos precisar usar coordenadas esféricas ou cilíndricas para facilitar a integração, já que as formas envolvidas são simétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação da esfera para entender melhor sua posição no espaço.
A equação pode ser reescrita completando o quadrado:
Isso mostra que é uma esfera com centro no ponto e raio .
Passo 3
Agora, vamos visualizar as duas superfícies:
O cone tem seu vértice na origem e se abre para cima.
A esfera está centrada em e toca a origem, já que seu raio é .
O volume que queremos é a região onde essas duas superfícies se sobrepõem, ou seja, os pontos que estão dentro da esfera e acima do cone.
Passo 4
Para calcular o volume, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que as superfícies têm simetria circular.
Nas coordenadas cilíndricas:
A equação do cone fica:
E a equação da esfera, substituindo :
Passo 5
Vamos resolver a equação da esfera para :
Como deve ser positivo e menor que , consideramos:
Isso representa a parte superior da esfera.
Passo 6
O limite superior para é a esfera, e o limite inferior é o cone. Portanto, o intervalo para é de até .
Além disso, o valor de varia de 0 até o ponto onde o cone e a esfera se intersectam.
Vamos encontrar esse ponto de interseção definindo na equação da esfera:
Então, varia de 0 a .
Passo 7
Agora, montamos a integral em coordenadas cilíndricas para calcular o volume :
Aqui, dentro da integral de é o elemento de área na coordenada cilíndrica.