Determinar a dimensêo e uma base para cada subespaço: (b)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa determinar a dimensão e encontrar uma base para o subespaço definido por todos os vetores
em
que satisfazem a equação
. Para isso, vamos usar conceitos de subespaços vetoriais, dimensão e base. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa esse conjunto de vetores. A equação
relaciona as coordenadas
,
e
dos vetores no subespaço. Nosso objetivo é expressar
em termos de
e
(ou qualquer outra variável), assim podemos parametrizar os vetores desse subespaço.
Passo 3
Resolvendo a equação para
, temos:
Isso significa que qualquer vetor
no subespaço pode ser escrito como:
Agora, podemos separar isso em termos de
e
:
Isso mostra que qualquer vetor no subespaço é uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 4
Agora, para encontrar a base do subespaço, precisamos identificar os vetores que geram todo o subespaço e que são linearmente independentes. Pelo que vimos, os vetores
e
fazem isso. Vamos verificar se eles são linearmente independentes.
Assumimos que existe uma combinação linear que resulta no vetor nulo:
Isso nos dá o sistema:
A única solução para esse sistema é
e
, o que confirma que os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Como temos dois vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço, eles formam uma base para o subespaço. Além disso, a quantidade de vetores na base indica a dimensão do subespaço. Nesse caso, temos dois vetores na base, então a dimensão é 2.
Resposta
A dimensão do subespaço é 2 e uma base para ele é formada pelos vetores
.
Exercícios relacionados
Dado os vetores
e
do
. Determine:
o vetor
vetor pertence a
.
Se
e
, determine:
(b) [1 pt] Os pontos
são vértices de um triângulo. Determine a alturado triângulo relativo ao vértice
.
Dado os vetores
e
do
. Determine:
pts] o subespaço
gerado pelos vetores
.