Determinar a dimensêo e uma base para cada subespaço: (b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa determinar a dimensão e encontrar uma base para o subespaço definido por todos os vetores em que satisfazem a equação . Para isso, vamos usar conceitos de subespaços vetoriais, dimensão e base. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa esse conjunto de vetores. A equação relaciona as coordenadas , e dos vetores no subespaço. Nosso objetivo é expressar em termos de e (ou qualquer outra variável), assim podemos parametrizar os vetores desse subespaço.

Passo 3

Resolvendo a equação para , temos:
Isso significa que qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como:
Agora, podemos separar isso em termos de e :
Isso mostra que qualquer vetor no subespaço é uma combinação linear dos vetores e .

Passo 4

Agora, para encontrar a base do subespaço, precisamos identificar os vetores que geram todo o subespaço e que são linearmente independentes. Pelo que vimos, os vetores e fazem isso. Vamos verificar se eles são linearmente independentes.
Assumimos que existe uma combinação linear que resulta no vetor nulo:
Isso nos dá o sistema:
A única solução para esse sistema é e , o que confirma que os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como temos dois vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço, eles formam uma base para o subespaço. Além disso, a quantidade de vetores na base indica a dimensão do subespaço. Nesse caso, temos dois vetores na base, então a dimensão é 2.

Resposta

A dimensão do subespaço é 2 e uma base para ele é formada pelos vetores .

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Dado os vetores e do . Determine: o vetor vetor pertence a .
Se e , determine:
(b) [1 pt] Os pontos são vértices de um triângulo. Determine a alturado triângulo relativo ao vértice .
Dado os vetores e do . Determine: pts] o subespaço gerado pelos vetores .