(b) Achar dois números positivos cuja soma é 16 e cujo produto é o máximo possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar dois números positivos que somados dão 16 e que, ao mesmo tempo, o produto deles seja o maior possível. Vamos usar conceitos de álgebra e otimização para chegar nessa resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os dois números de
e
. Sabemos que a soma deles é 16, então temos:
Isso significa que podemos expressar um dos números em função do outro. Vamos isolar o
:
Passo 3
Agora, queremos maximizar o produto desses dois números, ou seja, queremos encontrar o máximo de:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Então, nosso objetivo é maximizar a função
.
Passo 4
Para encontrar o valor de
que maximiza
, vamos analisar a função quadrática:
Sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de
é negativo), então o ponto de máximo está no vértice da parábola.
Passo 5
A fórmula para encontrar o valor de
no vértice de uma parábola
é:
No nosso caso,
e
. Substituindo na fórmula:
Passo 6
Agora que encontramos
, podemos encontrar
usando a equação
:
Resposta
Os dois números são 8 e 8, e o produto máximo é
.
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de
de volume. Nas laterais e no fundo será utilizado material que custa
o
e na tampa será utilizado material que custa
. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo do material empregado.
Deve-se construir uma caixa, sem tampa, de base retangular a partir de um pedaço de cartolina de 32 cm por 42 cm , retirando-se 4 quadrados, de mesmas dimensões, de cada um dos vértices e dobrando-se os lados. Determine as dimensões dos quadrados extraídos, que produzem a caixa de volume máximo.
Mostre que a equação
tem, pelo menos, uma raiz no intervalo
.