(b) Achar dois números positivos cuja soma é 16 e cujo produto é o máximo possível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar dois números positivos que somados dão 16 e que, ao mesmo tempo, o produto deles seja o maior possível. Vamos usar conceitos de álgebra e otimização para chegar nessa resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os dois números de e . Sabemos que a soma deles é 16, então temos:
Isso significa que podemos expressar um dos números em função do outro. Vamos isolar o :

Passo 3

Agora, queremos maximizar o produto desses dois números, ou seja, queremos encontrar o máximo de:
Substituindo pela expressão que encontramos:
Então, nosso objetivo é maximizar a função .

Passo 4

Para encontrar o valor de que maximiza , vamos analisar a função quadrática:
Sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de é negativo), então o ponto de máximo está no vértice da parábola.

Passo 5

A fórmula para encontrar o valor de no vértice de uma parábola é:
No nosso caso, e . Substituindo na fórmula:

Passo 6

Agora que encontramos , podemos encontrar usando a equação :

Resposta

Os dois números são 8 e 8, e o produto máximo é .

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de de volume. Nas laterais e no fundo será utilizado material que custa o e na tampa será utilizado material que custa . Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo do material empregado.
Deve-se construir uma caixa, sem tampa, de base retangular a partir de um pedaço de cartolina de 32 cm por 42 cm , retirando-se 4 quadrados, de mesmas dimensões, de cada um dos vértices e dobrando-se os lados. Determine as dimensões dos quadrados extraídos, que produzem a caixa de volume máximo.
Mostre que a equação tem, pelo menos, uma raiz no intervalo .