Mostre que a equação x^5 - 3 x^4 - 2 x^3 - x + 1 = 0 tem, pelo menos, uma raiz no intervalo [0,1].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a equação tem pelo menos uma raiz no intervalo . Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a determinar se uma função contínua assume todos os valores entre dois pontos.

Passo 2

Vamos definir a função associada à equação dada:
Essa função é um polinômio, e sabemos que polinômios são contínuos em todos os pontos do seu domínio, ou seja, em todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da função no início do intervalo, quando :
Então, .

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o valor da função no final do intervalo, quando :
Então, .

Passo 5

Observamos que e têm sinais opostos. Isso significa que a função passa de positivo para negativo no intervalo .

Passo 6

De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto no intervalo onde a função é igual a zero. Portanto, a equação tem pelo menos uma raiz no intervalo .

Resposta

A equação tem pelo menos uma raiz no intervalo .

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