Mostre que a equação
tem, pelo menos, uma raiz no intervalo
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a equação
tem pelo menos uma raiz no intervalo
. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a determinar se uma função contínua assume todos os valores entre dois pontos.
Passo 2
Vamos definir a função associada à equação dada:
Essa função é um polinômio, e sabemos que polinômios são contínuos em todos os pontos do seu domínio, ou seja, em todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor da função no início do intervalo, quando
:
Então,
.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o valor da função no final do intervalo, quando
:
Então,
.
Passo 5
Observamos que
e
têm sinais opostos. Isso significa que a função passa de positivo para negativo no intervalo
.
Passo 6
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto no intervalo onde a função é igual a zero. Portanto, a equação
tem pelo menos uma raiz no intervalo
.
Resposta
A equação
tem pelo menos uma raiz no intervalo
.
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Calcule:
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Calcule: