Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de 1 m^3 de volume. Nas laterais e no fundo será utilizado material que custa R o o e na tampa será utilizado material que custa e na tampa será utilizado material que custa . Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo do material empregado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente construir uma caixa cilíndrica com volume de . O material das laterais e do fundo custa R$ 5,00 por metro quadrado, enquanto o material da tampa custa R$ 10,00 por metro quadrado. Nosso objetivo é encontrar as dimensões (raio e altura) que minimizam o custo total desse material. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de otimização e geometria dos cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula do volume de um cilindro: . Sabemos que o volume é , então temos:
Isso nos dá uma relação entre o raio r e a altura h da caixa.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área de cada parte da caixa. A caixa tem:
  • Fundo: área $ \pi r^{2} $
  • Laterais: área
  • Tampa: área $ \pi r^{2} $
Assim, a área total das laterais e do fundo (ambos custando R$ 5,00/m²) é:
E a área da tampa (custando R$ 10,00/m²) é:

Passo 4

Vamos agora calcular o custo total. Multiplicamos as áreas pelos respectivos preços:
Simplificando:

Passo 5

Lembrando da relação do volume , podemos expressar h em função de r:
Substituindo isso na função de custo:

Passo 6

Para encontrar o valor de r que minimiza o custo, vamos derivar a função custo em relação a r e igualar a zero:
Resolvendo para r:

Passo 7

Calculando o valor numérico de r:
Agora, encontramos h usando :

Resposta

As dimensões da caixa cilíndrica que minimizam o custo do material são aproximadamente raio e altura .

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