Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de
de volume. Nas laterais e no fundo será utilizado material que custa
o
e na tampa será utilizado material que custa
. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo do material empregado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente construir uma caixa cilíndrica com volume de
. O material das laterais e do fundo custa R$ 5,00 por metro quadrado, enquanto o material da tampa custa R$ 10,00 por metro quadrado. Nosso objetivo é encontrar as dimensões (raio e altura) que minimizam o custo total desse material. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de otimização e geometria dos cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula do volume de um cilindro:
. Sabemos que o volume é
, então temos:
Isso nos dá uma relação entre o raio
e a altura
da caixa.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área de cada parte da caixa. A caixa tem:
- Fundo: área $ \pi r^{2} $
- Laterais: área
- Tampa: área $ \pi r^{2} $
Assim, a área total das laterais e do fundo (ambos custando R$ 5,00/m²) é:
E a área da tampa (custando R$ 10,00/m²) é:
Passo 4
Vamos agora calcular o custo total. Multiplicamos as áreas pelos respectivos preços:
Simplificando:
Passo 5
Lembrando da relação do volume
, podemos expressar
em função de
:
Substituindo isso na função de custo:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que minimiza o custo, vamos derivar a função custo em relação a
e igualar a zero:
Resolvendo para
:
Passo 7
Calculando o valor numérico de
:
Agora, encontramos
usando
:
Resposta
As dimensões da caixa cilíndrica que minimizam o custo do material são aproximadamente raio
e altura
.
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(b) Achar dois números positivos cuja soma é 16 e cujo produto é o máximo possível.