Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisamos:
- Encontrar os intervalos onde a função cresce e decresce.
- Estudar a concavidade e os pontos de inflexão.
- Determinar os pontos de máximo e mínimo locais.
- Esboçar o gráfico usando técnicas de Cálculo Diferencial.
Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, que nos dirá onde a função está crescendo ou decrescendo. Usamos a regra do quociente:
Simplificando a expressão:
Passo 3
Agora, vamos descobrir onde
para encontrar os pontos críticos. Resolver
pode ser complicado, mas podemos simplificar dividindo todos os termos por -4:
Usando tentativa e erro ou métodos de fatoração, encontramos que
é uma raiz:
Resolvendo a equação quadrática
:
Então, os pontos críticos são
,
, e
.
Passo 4
Vamos analisar o sinal de
nos intervalos determinados pelos pontos críticos para saber onde a função cresce ou decresce.
- Para
, escolhendo , : função crescente. - Entre
e , escolhendo , : função decrescente. - Entre
e , escolhendo , : função crescente. - Para
, escolhendo , : função decrescente.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
para estudar a concavidade e os pontos de inflexão. Derivando
:
Usando a regra do quociente novamente, simplificamos a expressão (o cálculo completo é longo, então vamos direto ao resultado):
Após simplificação, encontramos os pontos onde
, que são potenciais pontos de inflexão.
Passo 6
Com os pontos onde a primeira e segunda derivadas se anulam, podemos determinar os máximos e mínimos locais:
- Máximo local: Onde a função muda de crescente para decrescente, ou seja, nos pontos críticos onde
muda de positivo para negativo. - Mínimo local: Onde a função muda de decrescente para crescente.
Analisando nossos pontos críticos:
- Em
, a função muda de crescente para decrescente: máximo local. - Em
, muda de decrescente para crescente: mínimo local.
Resposta
Resumindo:
-
Intervalos de crescimento:
e . Intervalos de decrescimento:e . -
Concavidade: Determinada pela segunda derivada
. A função possui pontos de inflexão onde . -
Máximos e mínimos locais:
- Máximo local em
. - Mínimo local em
.
- Máximo local em
-
Esboço do gráfico: Com base nos intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade e pontos críticos, podemos desenhar o gráfico da função
.
Exercícios relacionados
Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de
de volume. Nas laterais e no fundo será utilizado material que custa
o
e na tampa será utilizado material que custa
. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo do material empregado.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
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