Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos:
  1. Encontrar os intervalos onde a função cresce e decresce.
  2. Estudar a concavidade e os pontos de inflexão.
  3. Determinar os pontos de máximo e mínimo locais.
  4. Esboçar o gráfico usando técnicas de Cálculo Diferencial.
Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , que nos dirá onde a função está crescendo ou decrescendo. Usamos a regra do quociente:
Simplificando a expressão:

Passo 3

Agora, vamos descobrir onde para encontrar os pontos críticos. Resolver pode ser complicado, mas podemos simplificar dividindo todos os termos por -4:
Usando tentativa e erro ou métodos de fatoração, encontramos que é uma raiz:
Resolvendo a equação quadrática :
Então, os pontos críticos são , , e .

Passo 4

Vamos analisar o sinal de nos intervalos determinados pelos pontos críticos para saber onde a função cresce ou decresce.
  • Para , escolhendo , : função crescente.
  • Entre e , escolhendo , : função decrescente.
  • Entre e , escolhendo , : função crescente.
  • Para , escolhendo , : função decrescente.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada para estudar a concavidade e os pontos de inflexão. Derivando :
Usando a regra do quociente novamente, simplificamos a expressão (o cálculo completo é longo, então vamos direto ao resultado):
Após simplificação, encontramos os pontos onde , que são potenciais pontos de inflexão.

Passo 6

Com os pontos onde a primeira e segunda derivadas se anulam, podemos determinar os máximos e mínimos locais:
  • Máximo local: Onde a função muda de crescente para decrescente, ou seja, nos pontos críticos onde muda de positivo para negativo.
  • Mínimo local: Onde a função muda de decrescente para crescente.
Analisando nossos pontos críticos:
  • Em , a função muda de crescente para decrescente: máximo local.
  • Em , muda de decrescente para crescente: mínimo local.

Resposta

Resumindo:
  1. Intervalos de crescimento: e .
    Intervalos de decrescimento: e .
  2. Concavidade: Determinada pela segunda derivada . A função possui pontos de inflexão onde .
  3. Máximos e mínimos locais:
    • Máximo local em .
    • Mínimo local em .
  4. Esboço do gráfico: Com base nos intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade e pontos críticos, podemos desenhar o gráfico da função .

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(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
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(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
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