Deve-se construir uma caixa, sem tampa, de base retangular a partir de um pedaço de cartolina de 32 cm por 42 cm , retirando-se 4 quadrados, de mesmas dimensões, de cada um dos vértices e dobrando-se os lados. Determine as dimensões dos quadrados extraídos, que produzem a caixa de volume máximo.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um pedaço de cartolina que mede 32 cm por 42 cm e queremos construir uma caixa sem tampa. Para isso, vamos retirar 4 quadrados iguais de cada canto da cartolina e dobrar os lados. Nosso objetivo é descobrir qual o tamanho desses quadrados que vai fazer com que o volume da caixa seja o maior possível. Vamos precisar usar conhecimentos de geometria e cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como ficarão as dimensões da base da caixa depois de cortar os quadrados. Se retirarmos um quadrado de lado
de cada canto, a nova largura da base será
cm e o comprimento será
cm. A altura da caixa será justamente
cm, que é o lado do quadrado que cortamos.
Passo 3
Agora, vamos escrever a fórmula do volume da caixa. O volume
de um paralelepípedo (que é a forma da nossa caixa) é dado pelo produto da largura, comprimento e altura. Então, temos:
Passo 4
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, precisamos derivar a função
em relação a
e encontrar onde essa derivada �� igual a zero. Isso porque os pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos da função.
Primeiro, expandimos a expressão do volume:
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 6
Para encontrar os valores críticos, resolvemos
:
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 4:
Passo 7
Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 8
Analisando os valores obtidos,
cm não faz sentido no contexto, pois retirando 18,67 cm de cada lado da cartolina de 32 cm não seria possível. Portanto, a única solução viável é
cm.
Passo 9
Para confirmar que esse valor de
realmente proporciona um volume máximo, podemos verificar o comportamento da derivada ou analisar o gráfico da função. Mas, neste caso, já sabemos que
cm é a solução que maximiza o volume.
Resposta
As dimensões dos quadrados a serem retirados são de 6 cm de lado, o que produz a caixa com o volume máximo.
Exercícios relacionados
(b) Achar dois números positivos cuja soma é 16 e cujo produto é o máximo possível.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Mostre que a equação
tem, pelo menos, uma raiz no intervalo
.
Calcule:
.