Deve-se construir uma caixa, sem tampa, de base retangular a partir de um pedaço de cartolina de 32 cm por 42 cm , retirando-se 4 quadrados, de mesmas dimensões, de cada um dos vértices e dobrando-se os lados. Determine as dimensões dos quadrados extraídos, que produzem a caixa de volume máximo.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um pedaço de cartolina que mede 32 cm por 42 cm e queremos construir uma caixa sem tampa. Para isso, vamos retirar 4 quadrados iguais de cada canto da cartolina e dobrar os lados. Nosso objetivo é descobrir qual o tamanho desses quadrados que vai fazer com que o volume da caixa seja o maior possível. Vamos precisar usar conhecimentos de geometria e cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como ficarão as dimensões da base da caixa depois de cortar os quadrados. Se retirarmos um quadrado de lado de cada canto, a nova largura da base será cm e o comprimento será cm. A altura da caixa será justamente cm, que é o lado do quadrado que cortamos.

Passo 3

Agora, vamos escrever a fórmula do volume da caixa. O volume de um paralelepípedo (que é a forma da nossa caixa) é dado pelo produto da largura, comprimento e altura. Então, temos:

Passo 4

Para encontrar o valor de que maximiza o volume, precisamos derivar a função em relação a e encontrar onde essa derivada �� igual a zero. Isso porque os pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos da função.
Primeiro, expandimos a expressão do volume:

Passo 5

Agora, derivamos em relação a :

Passo 6

Para encontrar os valores críticos, resolvemos :
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 4:

Passo 7

Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 8

Analisando os valores obtidos, cm não faz sentido no contexto, pois retirando 18,67 cm de cada lado da cartolina de 32 cm não seria possível. Portanto, a única solução viável é cm.

Passo 9

Para confirmar que esse valor de realmente proporciona um volume máximo, podemos verificar o comportamento da derivada ou analisar o gráfico da função. Mas, neste caso, já sabemos que cm é a solução que maximiza o volume.

Resposta

As dimensões dos quadrados a serem retirados são de 6 cm de lado, o que produz a caixa com o volume máximo.

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(b) Achar dois números positivos cuja soma é 16 e cujo produto é o máximo possível.
Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) determine os pontos de máximo e mínimo locais;
(4) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
Mostre que a equação tem, pelo menos, uma raiz no intervalo .
Calcule: .