(b) Se alpha=m in N, verifique que:
y1(x)=c0[1+sumn=1^infty (-1)^nn!binommn x^n]
em que binommn=m!n!(m-n)! é o coeficiente binomial. Encontre o raio de convergência da solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para verificarmos uma expressão envolvendo uma soma infinita e depois encontrarmos o raio de convergência dessa solução. Estamos lidando com séries de potências, especificamente com coeficientes binomiais. Para resolver, vamos analisar a expressão dada e entender como essa soma se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o coeficiente binomial binommn = m!n!(m-n)!. Aqui, m é um número natural. Um ponto importante sobre os coeficientes binomiais é que, se n > m, o valor de binommn é igual a zero. Isso ocorre porque não dá para escolher mais elementos do que o total disponível.

Passo 3

Então, na expressão da soma:
sumn=1^infty (-1)^nn!binommn x^n
como binommn = 0 para todo n > m, na verdade, essa soma não vai até o infinito. Ela para quando n alcança o valor de m. Isso significa que a série é, na verdade, uma soma finita com apenas m termos.

Passo 4

Agora, como temos uma soma finita de termos, estamos lidando com um polinômio. A boa notícia é que polinômios são funções que são definidas para todo valor de x no conjunto dos números reais. Isso implica que o raio de convergência dessa série é infinito, pois a série converge para todos os valores de x.

Resposta

O raio de convergência da solução é infinito.

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