(b) Se
, verifique que:
em que
é o coeficiente binomial. Encontre o raio de convergência da solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para verificarmos uma expressão envolvendo uma soma infinita e depois encontrarmos o raio de convergência dessa solução. Estamos lidando com séries de potências, especificamente com coeficientes binomiais. Para resolver, vamos analisar a expressão dada e entender como essa soma se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o coeficiente binomial
. Aqui,
é um número natural. Um ponto importante sobre os coeficientes binomiais é que, se
, o valor de
é igual a zero. Isso ocorre porque não dá para escolher mais elementos do que o total disponível.
Passo 3
Então, na expressão da soma:
como
para todo
, na verdade, essa soma não vai até o infinito. Ela para quando
alcança o valor de
. Isso significa que a série é, na verdade, uma soma finita com apenas
termos.
Passo 4
Agora, como temos uma soma finita de termos, estamos lidando com um polinômio. A boa notícia é que polinômios são funções que são definidas para todo valor de
no conjunto dos números reais. Isso implica que o raio de convergência dessa série é infinito, pois a série converge para todos os valores de
.
Resposta
O raio de convergência da solução é infinito.