© Considerando
!, tem-se:
são ditos polinômios de Laguerre de ordem
. Esboce os gráficos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar os gráficos dos polinômios de Laguerre de primeira e segunda ordem, ou seja,
e
. Esses polinômios fazem parte do conteúdo de funções especiais na matemática, e para resolvê-los, vamos precisar entender a fórmula que define os polinômios de Laguerre e calcular cada um deles passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula dos polinômios de Laguerre de ordem
:
Aqui,
é o fatorial de
,
é o coeficiente binomial, e
é
elevado a
. Vamos usar essa fórmula para
e
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Calculando termo a termo:
- Para
:
- Para
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Calculando termo a termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então:
Passo 5
Com as expressões de
e
em mãos, podemos esboçar seus gráficos.
-
Para
: - É uma reta decrescente que corta o eixo y em 1 e o eixo x em 1.
-
Para
: - É uma parábola que abre para cima.
- Calculamos as raízes resolvendo
, que dá . - O vértice da parábola está em
, com valor mínimo de .
Resposta
Os gráficos dos polinômios de Laguerre são:
Esses gráficos representam uma reta decrescente e uma parábola, respectivamente.
Exercícios relacionados
(a) Verifique que uma das soluções da equação (3) será:
em que
(b) Se
, verifique que:
em que
é o coeficiente binomial. Encontre o raio de convergência da solução.
Calcular a derivada direcional dos campos escalares, no ponto e direção indicados:
na direção de
Represente graficamente os campos vetoriais.