© Considerando !, tem-se:
são ditos polinômios de Laguerre de ordem . Esboce os gráficos de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar os gráficos dos polinômios de Laguerre de primeira e segunda ordem, ou seja, e . Esses polinômios fazem parte do conteúdo de funções especiais na matemática, e para resolvê-los, vamos precisar entender a fórmula que define os polinômios de Laguerre e calcular cada um deles passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula dos polinômios de Laguerre de ordem :
Aqui, é o fatorial de , é o coeficiente binomial, e é elevado a . Vamos usar essa fórmula para e .

Passo 3

Vamos calcular :
Calculando termo a termo:
  • Para :
  • Para :
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Calculando termo a termo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então:

Passo 5

Com as expressões de e em mãos, podemos esboçar seus gráficos.
  • Para :
    • É uma reta decrescente que corta o eixo y em 1 e o eixo x em 1.
  • Para :
    • É uma parábola que abre para cima.
    • Calculamos as raízes resolvendo , que dá .
    • O vértice da parábola está em , com valor mínimo de .

Resposta

Os gráficos dos polinômios de Laguerre são:
Esses gráficos representam uma reta decrescente e uma parábola, respectivamente.

Exercícios relacionados

Equação de Laguerre: Seja . A EDO de Laguerre de ordem é dada por:
(a) Verifique que uma das soluções da equação (3) será:
em que
(b) Se , verifique que:
em que é o coeficiente binomial. Encontre o raio de convergência da solução.
Calcular a derivada direcional dos campos escalares, no ponto e direção indicados: na direção de
Represente graficamente os campos vetoriais.