© Considerando c0=m !, tem-se:
Lm(x)=sumn=0^m (-1)^n m!n!binommn x^n
Lm(x) são ditos polinômios de Laguerre de ordem m. Esboce os gráficos de L1 e L2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar os gráficos dos polinômios de Laguerre de primeira e segunda ordem, ou seja, e . Esses polinômios fazem parte do conteúdo de funções especiais na matemática, e para resolvê-los, vamos precisar entender a fórmula que define os polinômios de Laguerre e calcular cada um deles passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula dos polinômios de Laguerre de ordem Lm(x) = sumn=0^m (-1)^n m!n! binommn x^n :
Aqui, é o fatorial de , é o coeficiente binomial, e é elevado a . Vamos usar essa fórmula para e .

Passo 3

Vamos calcular L1(x) = sumn=0^1 (-1)^n 1!n! binom1n x^n :
(-1)^0 cdot 1!0! binom10 x^0 = 1 cdot 1 cdot 1 = 1
Calculando termo a termo:
  • Para (-1)^1 cdot 1!1! binom11 x^1 = -1 cdot 1 cdot x = -x :
L1(x) = 1 - x
  • Para :
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular L2(x) = sumn=0^2 (-1)^n 2!n! binom2n x^n :
(-1)^0 cdot 2!0! binom20 x^0 = 1 cdot 2 cdot 1 = 2
Calculando termo a termo:
  • Para (-1)^1 cdot 2!1! binom21 x^1 = -1 cdot 2 cdot 2x = -4x :
(-1)^2 cdot 2!2! binom22 x^2 = 1 cdot 1 cdot x^2 = x^2
  • Para L2(x) = 2 - 4x + x^2 :
  • Para :
Então:

Passo 5

Com as expressões de e em mãos, podemos esboçar seus gráficos.
  • Para :
    • É uma reta decrescente que corta o eixo y em 1 e o eixo x em 1.
  • Para :
    • É uma parábola que abre para cima.
    • Calculamos as raízes resolvendo , que dá .
    • O vértice da parábola está em , com valor mínimo de .

Resposta

Os gráficos dos polinômios de Laguerre são:
L1(x) = 1 - x
L2(x) = x^2 - 4x + 2
Esses gráficos representam uma reta decrescente e uma parábola, respectivamente.

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