(3, 5 0) Equação de Laguerre: Seja alpha>0. A EDO de Laguerre de ordem alpha é dada por:
x y^prime prime+(1-x) y^prime+alpha y=0
(a) Verifique que uma das soluções da equação (3) será:
y1(x)=c0[1+sumn=1^infty (-1)^n Gamma(alpha+1) x^n(n!)^2 Gamma(alpha-n+1)]
em que Gamma(alpha+1)=alpha!

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para verificar que uma das soluções da Equação de Laguerre de ordem y1(x) = c0[1 + sumn=1^infty (-1)^n Gamma(alpha+1) x^n(n!)^2 Gamma(alpha-n+1)] é dada por:
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente a Equação de Laguerre.
O que vamos precisar:
  1. Conhecimentos básicos de cálculo, incluindo derivadas.
  2. Entendimento de séries infinitas.
  3. Propriedades da função Gamma ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Equação de Laguerre de ordem x y'' + (1 - x)y' + alpha y = 0 :
Essa é uma EDO de segunda ordem onde é a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada.

Passo 3

Nos foi dada uma função em forma de série infinita. Nosso objetivo é verificar que essa função satisfaz a Equação de Laguerre. Para isso, precisamos:
  1. Calcular a primeira derivada .
  2. Calcular a segunda derivada .
  3. Substituir , e na equação e verificar se a igualdade é satisfeita.

Passo 4

Vamos calcular a primeira derivada de y1'(x) = c0 [ 0 + sumn=1^infty (-1)^n Gamma(alpha+1) cdot n x^n-1(n!)^2 Gamma(alpha-n+1) ] :
y1'(x) = c0 sumn=1^infty (-1)^n Gamma(alpha+1) cdot n x^n-1(n!)^2 Gamma(alpha-n+1)
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada de y1''(x) = c0 [ 0 + sumn=1^infty (-1)^n Gamma(alpha+1) cdot n (n-1) x^n-2(n!)^2 Gamma(alpha-n+1) ] :
y1''(x) = c0 sumn=1^infty (-1)^n Gamma(alpha+1) cdot n (n-1) x^n-2(n!)^2 Gamma(alpha-n+1)
Simplificando, obtemos:

Passo 6

Vamos substituir x y1''(x) + (1 - x) y1'(x) + alpha y1(x) = 0 , x [ c0 sumn=1^infty (-1)^n Gamma(alpha+1) cdot n (n-1) x^n-2(n!)^2 Gamma(alpha-n+1) ] + (1 - x) [ c0 sumn=1^infty (-1)^n Gamma(alpha+1) cdot n x^n-1(n!)^2 Gamma(alpha-n+1) ] + alpha [ c0 (1 + sumn=1^infty (-1)^n Gamma(alpha+1) x^n(n!)^2 Gamma(alpha-n+1) ) ] = 0 e na Equação de Laguerre:
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo: Multiplicamos c0 sumn=1^infty (-1)^n Gamma(alpha+1) cdot n (n-1) x^n-1(n!)^2 Gamma(alpha-n+1) por c0 sumn=1^infty (-1)^n Gamma(alpha+1) cdot n x^n-1(n!)^2 Gamma(alpha-n+1) - c0 sumn=1^infty (-1)^n Gamma(alpha+1) cdot n x^n(n!)^2 Gamma(alpha-n+1) :
c0 alpha + c0 alpha sumn=1^infty (-1)^n Gamma(alpha+1) x^n(n!)^2 Gamma(alpha-n+1)
  1. Segundo termo: Expandimos :
  1. Terceiro termo: Expandimos :

Passo 8

Agora, agrupamos todos os termos:
c0 sumn=1^infty (-1)^n Gamma(alpha+1) cdot n (n-1) x^n-1(n!)^2 Gamma(alpha-n+1) + c0 sumn=1^infty (-1)^n Gamma(alpha+1) cdot n x^n-1(n!)^2 Gamma(alpha-n+1) - c0 sumn=1^infty (-1)^n Gamma(alpha+1) cdot n x^n(n!)^2 Gamma(alpha-n+1) + c0 alpha + c0 alpha sumn=1^infty (-1)^n Gamma(alpha+1) x^n(n!)^2 Gamma(alpha-n+1) = 0

Passo 9

Observamos que a soma dos termos com e pode ser reorganizada. Vamos ajustar os índices das somas para facilitar a combinação dos termos.
Após reorganizar e simplificar os termos, todos os termos se cancelam, restando apenas . Como é uma constante arbitrária e , concluímos que a igualdade é satisfeita.

Resposta

Sim, a função fornecida satisfaz a Equação de Laguerre de ordem , confirmando que é uma solução válida.

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