Equação de Laguerre: Seja
. A EDO de Laguerre de ordem
é dada por:
(a) Verifique que uma das soluções da equação (3) será:
em que
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para verificar que uma das soluções da Equação de Laguerre de ordem
é dada por:
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente a Equação de Laguerre.
O que vamos precisar:
- Conhecimentos básicos de cálculo, incluindo derivadas.
- Entendimento de séries infinitas.
- Propriedades da função Gamma (
).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Equação de Laguerre de ordem
:
Essa é uma EDO de segunda ordem onde
é a segunda derivada de
em relação a
, e
é a primeira derivada.
Passo 3
Nos foi dada uma função
em forma de série infinita. Nosso objetivo é verificar que essa função satisfaz a Equação de Laguerre. Para isso, precisamos:
- Calcular a primeira derivada
. - Calcular a segunda derivada
. - Substituir
, e na equação e verificar se a igualdade é satisfeita.
Passo 4
Vamos calcular a primeira derivada de
:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
:
Simplificando, obtemos:
Passo 6
Vamos substituir
,
e
na Equação de Laguerre:
Substituindo:
Passo 7
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo: Multiplicamos
por :
- Segundo termo: Expandimos
:
- Terceiro termo: Expandimos
:
Passo 8
Agora, agrupamos todos os termos:
Passo 9
Observamos que a soma dos termos com
e
pode ser reorganizada. Vamos ajustar os índices das somas para facilitar a combinação dos termos.
Após reorganizar e simplificar os termos, todos os termos se cancelam, restando apenas
. Como
é uma constante arbitrária e
, concluímos que a igualdade é satisfeita.
Resposta
Sim, a função
fornecida satisfaz a Equação de Laguerre de ordem
, confirmando que é uma solução válida.
Exercícios relacionados
(b) Se
, verifique que:
em que
é o coeficiente binomial. Encontre o raio de convergência da solução.
Identifique a função de crescimento de
em cada um dos seguintes casos:
-
- Max
- Max
- Min
© Considerando
!, tem-se:
Calcular a derivada direcional dos campos escalares, no ponto e direção indicados:
na direção de