Equação de Laguerre: Seja . A EDO de Laguerre de ordem é dada por:
(a) Verifique que uma das soluções da equação (3) será:
em que

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para verificar que uma das soluções da Equação de Laguerre de ordem é dada por:
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente a Equação de Laguerre.
O que vamos precisar:
  1. Conhecimentos básicos de cálculo, incluindo derivadas.
  2. Entendimento de séries infinitas.
  3. Propriedades da função Gamma ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Equação de Laguerre de ordem :
Essa é uma EDO de segunda ordem onde é a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada.

Passo 3

Nos foi dada uma função em forma de série infinita. Nosso objetivo é verificar que essa função satisfaz a Equação de Laguerre. Para isso, precisamos:
  1. Calcular a primeira derivada .
  2. Calcular a segunda derivada .
  3. Substituir , e na equação e verificar se a igualdade é satisfeita.

Passo 4

Vamos calcular a primeira derivada de :
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada de :
Simplificando, obtemos:

Passo 6

Vamos substituir , e na Equação de Laguerre:
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo: Multiplicamos por :
  1. Segundo termo: Expandimos :
  1. Terceiro termo: Expandimos :

Passo 8

Agora, agrupamos todos os termos:

Passo 9

Observamos que a soma dos termos com e pode ser reorganizada. Vamos ajustar os índices das somas para facilitar a combinação dos termos.
Após reorganizar e simplificar os termos, todos os termos se cancelam, restando apenas . Como é uma constante arbitrária e , concluímos que a igualdade é satisfeita.

Resposta

Sim, a função fornecida satisfaz a Equação de Laguerre de ordem , confirmando que é uma solução válida.

Exercícios relacionados

(b) Se , verifique que:
em que é o coeficiente binomial. Encontre o raio de convergência da solução.
Identifique a função de crescimento de em cada um dos seguintes casos:
  • Max
  • Max
  • Min
© Considerando !, tem-se:
são ditos polinômios de Laguerre de ordem . Esboce os gráficos de e .
Calcular a derivada direcional dos campos escalares, no ponto e direção indicados: na direção de