Determine todos os pontos extremos do conjunto poliédrico.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A questão nos dá um conjunto de inequações que definem um conjunto poliédrico, ou seja, uma região no espaço tridimensional limitada por planos. A tarefa é determinar todos os pontos extremos desse conjunto, que são basicamente as “pontas” ou vértices desse poliedro. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de Geometria Analítica e Programação Linear, focando em encontrar os pontos de interseção das restrições que formam os limites do conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos listar as inequações que definem o conjunto:
Essas inequações formam planos no espaço tridimensional. Os pontos extremos são onde esses planos se encontram de forma que três desses planos se interceptem em um único ponto.
Passo 3
Para encontrar os pontos extremos, vamos considerar todas as combinações possíveis de igualar três restrições! Como temos três variáveis (
,
,
), precisamos resolver sistemas de tr��s equações que vêm das igualdades das inequações.
Vamos considerar que
,
, ou
podem ser zero, pois também temos as restrições de não-negatividade. Então, as combinações serão:
- Igualar as duas inequações originais e uma das variáveis a zero.
- Igualar uma inequação com uma variável a zero e outra variável a zero.
- Igualar as duas variáveis a zero.
Vamos explorar cada caso.
Passo 4
Caso 1:
Com
, a primeira inequação fica:
E a segunda inequação permanece:
Também temos
.
Agora, igualamos as duas equações:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Então, temos um ponto:
Passo 5
Caso 2:
Com
, a segunda inequação fica:
Mas como
, isso não é possível. Portanto, não há ponto extremo nesse caso.
Passo 6
Caso 3:
Com
, a primeira inequação fica:
A segunda inequação fica:
E
.
Vamos igualar as duas equações:
Substituindo
:
Então, temos outro ponto:
Passo 7
Caso 4:
e
Com
e
, a primeira inequação fica:
E a segunda inequação com
:
Como
, temos
.
Então, mais um ponto:
Passo 8
Caso 5:
e
Com
e
, a primeira inequação fica:
Mas
, então
pode ser 0 ou positivo. A segunda inequação com
:
O ponto onde ambas são iguais é
, mas já encontramos esse ponto no caso 3:
. No entanto, esse ponto já está incluso no caso anterior, então não precisamos adicioná-lo novamente.
Passo 9
Caso 6: Igualar as duas inequações e
Já fizemos isso no caso 1 e obtivemos
.
Passo 10
Agora, vamos revisar todos os pontos que encontramos:
Esses são os pontos onde três restrições se encontram, formando os pontos extremos do conjunto poliédrico definido pelas inequações.
Resposta
Os pontos extremos do conjunto poliédrico são
,
e
.
Exercícios relacionados
Resolver pelo método gráfico o seguinte problema:
Sujeito a:
Sujeito a:
Determine o espaço de soluções viáveis para cada uma das seguintes restrições independentes:
Identifique a função de crescimento de
em cada um dos seguintes casos:
-
- Max
- Max
- Min
(b) Se
, verifique que:
em que
é o coeficiente binomial. Encontre o raio de convergência da solução.