Determine todos os pontos extremos do conjunto poliédrico.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A questão nos dá um conjunto de inequações que definem um conjunto poliédrico, ou seja, uma região no espaço tridimensional limitada por planos. A tarefa é determinar todos os pontos extremos desse conjunto, que são basicamente as “pontas” ou vértices desse poliedro. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de Geometria Analítica e Programação Linear, focando em encontrar os pontos de interseção das restrições que formam os limites do conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as inequações que definem o conjunto:
Essas inequações formam planos no espaço tridimensional. Os pontos extremos são onde esses planos se encontram de forma que três desses planos se interceptem em um único ponto.

Passo 3

Para encontrar os pontos extremos, vamos considerar todas as combinações possíveis de igualar três restrições! Como temos três variáveis ( , , ), precisamos resolver sistemas de tr��s equações que vêm das igualdades das inequações.
Vamos considerar que , , ou podem ser zero, pois também temos as restrições de não-negatividade. Então, as combinações serão:
  1. Igualar as duas inequações originais e uma das variáveis a zero.
  2. Igualar uma inequação com uma variável a zero e outra variável a zero.
  3. Igualar as duas variáveis a zero.
Vamos explorar cada caso.

Passo 4

Caso 1:
Com , a primeira inequação fica:
E a segunda inequação permanece:
Também temos .
Agora, igualamos as duas equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Então, temos um ponto:

Passo 5

Caso 2:
Com , a segunda inequação fica:
Mas como , isso não é possível. Portanto, não há ponto extremo nesse caso.

Passo 6

Caso 3:
Com , a primeira inequação fica:
A segunda inequação fica:
E .
Vamos igualar as duas equações:
Substituindo :
Então, temos outro ponto:

Passo 7

Caso 4: e
Com e , a primeira inequação fica:
E a segunda inequação com :
Como , temos .
Então, mais um ponto:

Passo 8

Caso 5: e
Com e , a primeira inequação fica:
Mas , então pode ser 0 ou positivo. A segunda inequação com :
O ponto onde ambas são iguais é , mas já encontramos esse ponto no caso 3: . No entanto, esse ponto já está incluso no caso anterior, então não precisamos adicioná-lo novamente.

Passo 9

Caso 6: Igualar as duas inequações e
Já fizemos isso no caso 1 e obtivemos .

Passo 10

Agora, vamos revisar todos os pontos que encontramos:
Esses são os pontos onde três restrições se encontram, formando os pontos extremos do conjunto poliédrico definido pelas inequações.

Resposta

Os pontos extremos do conjunto poliédrico são , e .

Exercícios relacionados

Resolver pelo método gráfico o seguinte problema:

Sujeito a:
Determine o espaço de soluções viáveis para cada uma das seguintes restrições independentes:
Identifique a função de crescimento de em cada um dos seguintes casos:
  • Max
  • Max
  • Min
(b) Se , verifique que:
em que é o coeficiente binomial. Encontre o raio de convergência da solução.