(b) Se para todo , o que você pode dizer sobre ? Por quê?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas sequências, e , e sabemos que para todo , . A pergunta é: o que podemos dizer sobre a soma infinita ? Para resolver isso, vamos usar o Teste de Comparação das séries.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série. Uma série é a soma de termos de uma sequência infinita, ou seja, . Queremos saber se essa soma converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito).

Passo 3

O Teste de Comparação nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série que já conhecemos o comportamento. No nosso caso, temos para todo .

Passo 4

Existem duas situações principais no Teste de Comparação:
  1. Se converge e para todo , então também converge.
  2. Se diverge e para todo , então também diverge.

Passo 5

No enunciado, sabemos que para todo , mas não temos informações sobre a série . Portanto, para aplicar o Teste de Comparação, precisamos fazer uma suposição ou ter mais informações sobre .

Passo 6

Se assumirmos que converge, então, pelo Teste de Comparação, como , podemos concluir que também converge.

Passo 7

Por outro lado, se soubermos que diverge, então, igualmente pelo Teste de Comparação, também diverge.

Resposta

Portanto, se para todo e sabemos que converge, então podemos afirmar que também converge, pois os termos de são menores que os termos de uma série convergente .

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