(b) Se
para todo
, o que você pode dizer sobre
? Por quê?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas sequências,
e
, e sabemos que para todo
,
. A pergunta é: o que podemos dizer sobre a soma infinita
? Para resolver isso, vamos usar o Teste de Comparação das séries.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série. Uma série é a soma de termos de uma sequência infinita, ou seja,
. Queremos saber se essa soma converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito).
Passo 3
O Teste de Comparação nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série que já conhecemos o comportamento. No nosso caso, temos
para todo
.
Passo 4
Existem duas situações principais no Teste de Comparação:
-
Se
converge e para todo , então também converge. -
Se
diverge e para todo , então também diverge.
Passo 5
No enunciado, sabemos que
para todo
, mas não temos informações sobre a série
. Portanto, para aplicar o Teste de Comparação, precisamos fazer uma suposição ou ter mais informações sobre
.
Passo 6
Se assumirmos que
converge, então, pelo Teste de Comparação, como
, podemos concluir que
também converge.
Passo 7
Por outro lado, se soubermos que
diverge, então, igualmente pelo Teste de Comparação,
também diverge.
Resposta
Portanto, se
para todo
e sabemos que
converge, então podemos afirmar que
também converge, pois os termos de
são menores que os termos de uma série convergente
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das seguintes funções
(h) constantes
(h)
Calcule a derivada das seguintes funções
(e)
(e)
Suponha que uma série
tenha todos os termos
, positivos e suas somas parciais
satisfaçam a desigualdade
, para todo
. Explique porque
deve ser convergente.