Suponha que uma série
tenha todos os termos
, positivos e suas somas parciais
satisfaçam a desigualdade
, para todo
. Explique porque
deve ser convergente.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série
onde todos os termos
são positivos. Além disso, as somas parciais dessa série, que a gente chama de
, são menores ou iguais a 1000 para todo
. A questão quer que a gente explique por que, com essas informações, a série
tem que ser convergente. Vamos usar conceitos de séries e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série convergente. Uma série
é convergente se a sua soma total chega a um número finito quando
tende ao infinito. Ou seja, os
(as somas parciais) se aproximam de um limite finito.
Passo 3
No nosso caso, todos os termos
são positivos. Isso significa que as somas parciais
são sempre crescentes. Ou seja, à medida que adicionamos mais termos, a soma nunca diminui.
Passo 4
Agora, foi dado que essas somas parciais nunca passam de 1000, ou seja,
para todo
. Então, temos uma sequência de somas parciais que está sempre aumentando e, ao mesmo tempo, nunca ultrapassa 1000.
Passo 5
Isso nos lembra de um conceito da matemática chamado Teorema do Conjunto Monótono. Esse teorema diz que se você tem uma sequência que é sempre crescente e está limitada por um certo número, então essa sequência tem um limite finito.
Passo 6
Aplicando esse teorema ao nosso caso, já que os
são crescentes e estão limitados por 1000, podemos concluir que a sequência das somas parciais
converge para algum valor menor ou igual a 1000.
Passo 7
Portanto, a série
, que é a soma de todos esses
, também converge, pois chega a um valor finito quando somamos infinitos termos.
Resposta
Como as somas parciais
são sempre positivas, crescentes e limitadas por 1000, a série
é convergente.
Exercícios relacionados
(b) Se
para todo
, o que você pode dizer sobre
? Por quê?
Encontre
para o valor dado de
(b) .
(b)
Calcule a derivada das seguintes funções
§
§