Suponha que uma série sumn=1^infty an tenha todos os termos ai, i=1, ldots, positivos e suas somas parciais sn satisfaçam a desigualdade sn <= 1000, para todo n. Explique porque sumn=1^infty an deve ser convergente.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série sumn=1^infty an onde todos os termos ai são positivos. Além disso, as somas parciais dessa série, que a gente chama de sn, são menores ou iguais a 1000 para todo n. A questão quer que a gente explique por que, com essas informações, a série sumn=1^infty an tem que ser convergente. Vamos usar conceitos de séries e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série convergente. Uma série sumn=1^infty an é convergente se a sua soma total chega a um número finito quando n tende ao infinito. Ou seja, os sn (as somas parciais) se aproximam de um limite finito.

Passo 3

No nosso caso, todos os termos ai são positivos. Isso significa que as somas parciais sn = a1 + a2 + dots + an são sempre crescentes. Ou seja, à medida que adicionamos mais termos, a soma nunca diminui.

Passo 4

Agora, foi dado que essas somas parciais nunca passam de 1000, ou seja, sn <= 1000 para todo n. Então, temos uma sequência de somas parciais que está sempre aumentando e, ao mesmo tempo, nunca ultrapassa 1000.

Passo 5

Isso nos lembra de um conceito da matemática chamado Teorema do Conjunto Monótono. Esse teorema diz que se você tem uma sequência que é sempre crescente e está limitada por um certo número, então essa sequência tem um limite finito.

Passo 6

Aplicando esse teorema ao nosso caso, já que os sn são crescentes e estão limitados por 1000, podemos concluir que a sequência das somas parciais sn converge para algum valor menor ou igual a 1000.

Passo 7

Portanto, a série sumn=1^infty an, que é a soma de todos esses sn, também converge, pois chega a um valor finito quando somamos infinitos termos.

Resposta

Como as somas parciais sn são sempre positivas, crescentes e limitadas por 1000, a série sumn=1^infty an é convergente.

Exercícios relacionados