Suponha que uma série tenha todos os termos , positivos e suas somas parciais satisfaçam a desigualdade , para todo . Explique porque deve ser convergente.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série onde todos os termos são positivos. Além disso, as somas parciais dessa série, que a gente chama de , são menores ou iguais a 1000 para todo . A questão quer que a gente explique por que, com essas informações, a série tem que ser convergente. Vamos usar conceitos de séries e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série convergente. Uma série é convergente se a sua soma total chega a um número finito quando tende ao infinito. Ou seja, os (as somas parciais) se aproximam de um limite finito.

Passo 3

No nosso caso, todos os termos são positivos. Isso significa que as somas parciais são sempre crescentes. Ou seja, à medida que adicionamos mais termos, a soma nunca diminui.

Passo 4

Agora, foi dado que essas somas parciais nunca passam de 1000, ou seja, para todo . Então, temos uma sequência de somas parciais que está sempre aumentando e, ao mesmo tempo, nunca ultrapassa 1000.

Passo 5

Isso nos lembra de um conceito da matemática chamado Teorema do Conjunto Monótono. Esse teorema diz que se você tem uma sequência que é sempre crescente e está limitada por um certo número, então essa sequência tem um limite finito.

Passo 6

Aplicando esse teorema ao nosso caso, já que os são crescentes e estão limitados por 1000, podemos concluir que a sequência das somas parciais converge para algum valor menor ou igual a 1000.

Passo 7

Portanto, a série , que é a soma de todos esses , também converge, pois chega a um valor finito quando somamos infinitos termos.

Resposta

Como as somas parciais são sempre positivas, crescentes e limitadas por 1000, a série é convergente.

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