Calcule a derivada das seguintes funções
(e)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente, que é útil para derivar funções que são frações de duas outras funções. Também vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas, como a cosssecante ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que a cosssecante é o inverso da seno, então:
Isso significa que:
Agora, nossa função está mais simples: .

Passo 3

Com a função simplificada, vamos derivar . Aqui, precisamos usar a regra do produto, que é usada quando temos o produto de duas funções. A regra do produto diz que:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :
Agora temos:

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Resposta

A derivada da função é:

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(g) .
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(h) constantes
(b) Se para todo , o que você pode dizer sobre ? Por quê?