(b) Aplicamos o resultado de (b) para encontrar a solução de
cujo gráfico passa através da origem.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem uma equação diferencial primeiro de ordem:
E a solução desse gráfico passa pela origem, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Precisamos entender o método do fator integrante para encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como resolver uma equação diferencial linear da forma:
Aqui, e . O método do fator integrante nos ajuda a transformar a equação em algo que podemos integrar facilmente. O fator integrante é dado por:

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver as integrais uma a uma. Primeiro:
Usando a técnica de integração por partes ou fórmulas de integração padrão, sabemos que:
E para a segunda integral:

Passo 6

Substituindo essas integrais de volta na equação, temos:
Simplificando:

Passo 7

Agora, isolamos dividindo todos os termos por :

Passo 8

Temos a condição inicial . Vamos substituir na solução para encontrar :
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial que passa pela origem é:

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