(b) Aplicamos o resultado de (b) para encontrar a solução de
cujo gráfico passa através da origem.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem uma equação diferencial primeiro de ordem:
E a solução desse gráfico passa pela origem, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Precisamos entender o método do fator integrante para encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como resolver uma equação diferencial linear da forma:
Aqui,
e . O método do fator integrante nos ajuda a transformar a equação em algo que podemos integrar facilmente. O fator integrante
é dado por:
Passo 3
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver as integrais uma a uma. Primeiro:
Usando a técnica de integração por partes ou fórmulas de integração padrão, sabemos que:
E para a segunda integral:
Passo 6
Substituindo essas integrais de volta na equação, temos:
Simplificando:
Passo 7
Agora, isolamos
dividindo todos os termos por
:
Passo 8
Temos a condição inicial
. Vamos substituir
na solução para encontrar
:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial que passa pela origem é: