Determine a transformada inversa.
De Laplace para:
De Laplace para:
Passo 1
Beleza, a questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função
. Vamos precisar usar o método de frações parciais para simplificar essa expressão e depois aplicar as transformadas inversas conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da função
. Já temos parte dele fatorado:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático
. Procuramos dois números que multiplicam para 3 e somam para 4. Esses números são 1 e 3:
Então, o denominador totalmente fatorado fica:
Passo 3
Com o denominador fatorado, podemos decompor
em frações parciais. A ideia é escrever
como a soma de termos mais simples:
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
. Para isso, escolhemos valores de
que simplificam a equação.
Primeiro, escolhemos
:
Segundo, escolhemos
:
Para encontrar
, podemos escolher outro valor, por exemplo,
:
Passo 5
Com os valores de
,
e
encontrados, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Resposta
A transformada inversa de Laplace de
é: