Determine a transformada inversa.
De Laplace para:

Passo 1

Beleza, a questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Vamos precisar usar o método de frações parciais para simplificar essa expressão e depois aplicar as transformadas inversas conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da função . Já temos parte dele fatorado:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático . Procuramos dois números que multiplicam para 3 e somam para 4. Esses números são 1 e 3:
Então, o denominador totalmente fatorado fica:

Passo 3

Com o denominador fatorado, podemos decompor em frações parciais. A ideia é escrever como a soma de termos mais simples:
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de , e . Para isso, escolhemos valores de que simplificam a equação.
Primeiro, escolhemos :
Segundo, escolhemos :
Para encontrar , podemos escolher outro valor, por exemplo, :

Passo 5

Com os valores de , e encontrados, substituímos de volta na expressão das frações parciais:

Resposta

A transformada inversa de Laplace de é:

Exercícios relacionados

(b) Aplicamos o resultado de (b) para encontrar a solução de
cujo gráfico passa através da origem.
Encontre a solução do PVI recursivo
onde é uma constante não nula.
Utilizando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais.
, sendo que:
Utilizando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais.
, sendo que: