Determine a transformada inversa.
De Laplace para:
Passo 1
Beleza, a questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Vamos precisar usar o método de frações parciais para simplificar essa expressão e depois aplicar as transformadas inversas conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da função . Já temos parte dele fatorado:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático . Procuramos dois números que multiplicam para 3 e somam para 4. Esses números são 1 e 3:
Então, o denominador totalmente fatorado fica:
Passo 3
Com o denominador fatorado, podemos decompor em frações parciais. A ideia é escrever como a soma de termos mais simples:
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores de , e . Para isso, escolhemos valores de que simplificam a equação.
Primeiro, escolhemos :
Segundo, escolhemos :
Para encontrar , podemos escolher outro valor, por exemplo, :
Passo 5
Com os valores de , e encontrados, substituímos de volta na expressão das frações parciais: