Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução de um Problema de Valor Inicial (PVI) que é recursivo. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais, especificamente onde cada equação depende da solução da anterior. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias (EDOs) e métodos de resolução de equações recursivas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura do PVI dado. Temos uma sequência de funções que satisfazem a equação diferencial:
para , com condições iniciais e para . Aqui, é uma constante não nula.
Passo 3
Vamos começar resolvendo para . A equação para fica:
Essa é uma equação diferencial linear simples cuja solução é conhecida.
Passo 4
A solução geral da equação é:
Onde é a constante de integração. Aplicando a condição inicial :
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos resolver para . A equação é:
Rearranjando:
Isso é uma equação linear não homogênea. Podemos usar o fator integrante para resolver.
Passo 6
O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação por :
O lado esquerdo se torna a derivada de :
Passo 7
Substituindo :
Integrando ambos os lados:
Calculando a integral:
Portanto:
Passo 8
Resolvendo para :
Aplicando a condição inicial :
Portanto:
Passo 9
Observando um padrão, podemos conjecturar que para cada , a solução geral é: