Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução de um Problema de Valor Inicial (PVI) que é recursivo. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais, especificamente onde cada equação depende da solução da anterior. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias (EDOs) e métodos de resolução de equações recursivas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura do PVI dado. Temos uma sequência de funções yn^prime(t) = -beta[(n+1) yn(t) - n yn-1(t)] que satisfazem a equação diferencial:
para , com condições iniciais e para . Aqui, é uma constante não nula.
Passo 3
Vamos começar resolvendo para y0^prime(t) = -beta[(0+1) y0(t) - 0 cdot y-1(t)] = -beta y0(t) . A equação para fica:
Essa é uma equação diferencial linear simples cuja solução é conhecida.
Passo 4
A solução geral da equação y0(t) = C e^-beta t é:
1 = C e^0 Rightarrow C = 1
Onde y0(t) = e^-beta t é a constante de integração. Aplicando a condição inicial :