Encontre a solução do PVI recursivo
lvert, ll yn^prime(t)=-beta[(n+1) yn(t)-n yn-1(t)] & n=0,1,2, ldots y0(0)=1, yn(0)=0 & n=1,2, ldots
onde beta é uma constante não nula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução de um Problema de Valor Inicial (PVI) que é recursivo. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais, especificamente onde cada equação depende da solução da anterior. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias (EDOs) e métodos de resolução de equações recursivas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura do PVI dado. Temos uma sequência de funções yn^prime(t) = -beta[(n+1) yn(t) - n yn-1(t)] que satisfazem a equação diferencial:
para , com condições iniciais e para . Aqui, é uma constante não nula.

Passo 3

Vamos começar resolvendo para y0^prime(t) = -beta[(0+1) y0(t) - 0 cdot y-1(t)] = -beta y0(t) . A equação para fica:
Essa é uma equação diferencial linear simples cuja solução é conhecida.

Passo 4

A solução geral da equação y0(t) = C e^-beta t é:
1 = C e^0 Rightarrow C = 1
Onde y0(t) = e^-beta t é a constante de integração. Aplicando a condição inicial :
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos resolver para y1^prime(t) = -beta[(1+1) y1(t) - 1 cdot y0(t)] = -beta (2 y1(t) - y0(t)) . A equação é:
y1^prime(t) + 2beta y1(t) = beta y0(t)
Rearranjando:
Isso é uma equação linear não homogênea. Podemos usar o fator integrante para resolver.

Passo 6

O fator integrante mu(t) = e^integral 2beta dt = e^2beta t é dado por:
e^2beta t y1^prime(t) + 2beta e^2beta t y1(t) = beta e^2beta t y0(t)
Multiplicando toda a equação por ddt(e^2beta t y1(t)) = beta e^2beta t y0(t) :
O lado esquerdo se torna a derivada de :

Passo 7

Substituindo ddt(e^2beta t y1(t)) = beta e^2beta t e^-beta t = beta e^beta t :
e^2beta t y1(t) = integral beta e^beta t dt + C
Integrando ambos os lados:
integral beta e^beta t dt = e^beta t + C
Calculando a integral:
e^2beta t y1(t) = e^beta t + C
Portanto:

Passo 8

Resolvendo para y1(t) = e^-2beta t (e^beta t + C) = e^-beta t + C e^-2beta t :
0 = 1 + C Rightarrow C = -1
Aplicando a condição inicial y1(t) = e^-beta t - e^-2beta t :
Portanto:

Passo 9

Observando um padrão, podemos conjecturar que para cada yn(t) = e^-beta t - sumk=1^n e^-(k+1)beta t , a solução geral é:
yn(t) = e^-beta t sumk=0^n (beta t)^kk!
Ou mais compactamente, usando combinatória:

Resposta

A solução do PVI recursivo é dada por:
yn(t) = e^-beta t sumk=0^n (beta t)^kk!

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