Encontre a solução do PVI recursivo
onde é uma constante não nula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução de um Problema de Valor Inicial (PVI) que é recursivo. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais, especificamente onde cada equação depende da solução da anterior. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias (EDOs) e métodos de resolução de equações recursivas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura do PVI dado. Temos uma sequência de funções que satisfazem a equação diferencial:
para , com condições iniciais e para . Aqui, é uma constante não nula.

Passo 3

Vamos começar resolvendo para . A equação para fica:
Essa é uma equação diferencial linear simples cuja solução é conhecida.

Passo 4

A solução geral da equação é:
Onde é a constante de integração. Aplicando a condição inicial :
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos resolver para . A equação é:
Rearranjando:
Isso é uma equação linear não homogênea. Podemos usar o fator integrante para resolver.

Passo 6

O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação por :
O lado esquerdo se torna a derivada de :

Passo 7

Substituindo :
Integrando ambos os lados:
Calculando a integral:
Portanto:

Passo 8

Resolvendo para :
Aplicando a condição inicial :
Portanto:

Passo 9

Observando um padrão, podemos conjecturar que para cada , a solução geral é:
Ou mais compactamente, usando combinatória:

Resposta

A solução do PVI recursivo é dada por:

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