Utilizando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais.
, sendo que:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace! Nosso exercício é:
Aqui, vamos precisar usar a Transformada de Laplace para transformar a equação no domínio de e resolver para , que é a transformada de . Depois, aplicamos a transformada inversa para encontrar .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Vamos lembrar de algumas propriedades importantes:
  • Transformada da derivada:
  • Transformada de uma integral:
  • Transformada de :
  • Transformada de :
Aplicando essas transformadas na equação:

Passo 3

Substituímos na equação:
Simplificando:

Passo 4

Vamos reunir os termos com :
Agora, isolamos :

Passo 5

Para simplificar, vamos multiplicar numerador e denominador por para eliminar a fração no denominador:
Simplificando:

Passo 6

Vamos dividir os termos no numerador:
Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente.

Passo 7

Primeiro, focamos no termo:
Vamos decompor em frações parciais. Para isso, fatoramos o denominador se possível. O denominador não fatoriza com números reais, então usamos a fórmula quadrática para encontrar as raízes:
Então, as frações parciais ficam:
Resolvendo para , e , encontramos os valores necessários para expressar a fração de maneira mais simples.

Passo 8

Após encontrar , e , podemos escrever de forma completa e então aplicar a Transformada Inversa de Laplace para cada termo.
Finalmente, a solução no domínio do tempo será obtida combinando os resultados das transformadas inversas de cada parcela.

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Determine a transformada inversa.
De Laplace para:
(b) Aplicamos o resultado de (b) para encontrar a solução de
cujo gráfico passa através da origem.
Utilizando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais.
, sendo que:
Determine a transformada inversa.
para: