Utilizando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais.
, sendo que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace! Nosso exercício é:
Aqui, vamos precisar usar a Transformada de Laplace para transformar a equação no domínio de
e resolver para
, que é a transformada de
. Depois, aplicamos a transformada inversa para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Vamos lembrar de algumas propriedades importantes:
-
Transformada da derivada:
-
Transformada de uma integral:
-
Transformada de
: -
Transformada de
:
Aplicando essas transformadas na equação:
Passo 3
Substituímos
na equação:
Simplificando:
Passo 4
Vamos reunir os termos com
:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Para simplificar, vamos multiplicar numerador e denominador por
para eliminar a fração no denominador:
Simplificando:
Passo 6
Vamos dividir os termos no numerador:
Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente.
Passo 7
Primeiro, focamos no termo:
Vamos decompor em frações parciais. Para isso, fatoramos o denominador se possível. O denominador
não fatoriza com números reais, então usamos a fórmula quadrática para encontrar as raízes:
Então, as frações parciais ficam:
Resolvendo para
,
e
, encontramos os valores necessários para expressar a fração de maneira mais simples.
Passo 8
Após encontrar
,
e
, podemos escrever
de forma completa e então aplicar a Transformada Inversa de Laplace para cada termo.
Finalmente, a solução no domínio do tempo será obtida combinando os resultados das transformadas inversas de cada parcela.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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De Laplace para:
(b) Aplicamos o resultado de (b) para encontrar a solução de
cujo gráfico passa através da origem.