(2,0) Utilizando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais.
y^prime+7 integralo^t y(u) d u+6 y(t)=t, sendo que: y(0)=-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace! Nosso exercício é:
y^prime(t) + 7 integral0^t y(u) , du + 6 y(t) = t, y(0) = -2
Aqui, vamos precisar usar a Transformada de Laplace para transformar a equação no domínio de e resolver para , que é a transformada de . Depois, aplicamos a transformada inversa para encontrar .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Vamos lembrar de algumas propriedades importantes:
  • Transformada da derivada:
    Ly'(t) = s Y(s) - y(0)
  • Transformada de uma integral:
    Lintegral0^t y(u) , du = Y(s)s
  • Transformada de Ly(t) = Y(s) :
    Lt = 1s^2
  • Transformada de s Y(s) - y(0) + 7 cdot Y(s)s + 6 Y(s) = 1s^2 :
Aplicando essas transformadas na equação:

Passo 3

Substituímos s Y(s) - (-2) + 7 Y(s)s + 6 Y(s) = 1s^2 na equação:
s Y(s) + 2 + 7 Y(s)s + 6 Y(s) = 1s^2
Simplificando:

Passo 4

Vamos reunir os termos com ( s + 7s + 6 ) Y(s) = 1s^2 - 2 :
Y(s) = 1s^2 - 2s + 7s + 6
Agora, isolamos :

Passo 5

Para simplificar, vamos multiplicar numerador e denominador por Y(s) = 1s^2 cdot s - 2ss^2 + 7 + 6s para eliminar a fração no denominador:
Y(s) = 1s - 2ss^2 + 6s + 7
Simplificando:

Passo 6

Vamos dividir os termos no numerador:
Y(s) = 1s(s^2 + 6s + 7) - 2ss^2 + 6s + 7
Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente.

Passo 7

Primeiro, focamos no termo:
1s(s^2 + 6s + 7)
Vamos decompor em frações parciais. Para isso, fatoramos o denominador se possível. O denominador s = -6 pm raiz36 - 282 = -6 pm raiz82 = -3 pm raiz2 não fatoriza com números reais, então usamos a fórmula quadrática para encontrar as raízes:
1s(s^2 + 6s + 7) = As + Bs + Cs^2 + 6s + 7
Então, as frações parciais ficam:
Resolvendo para , e , encontramos os valores necessários para expressar a fração de maneira mais simples.

Passo 8

Após encontrar , e , podemos escrever de forma completa e então aplicar a Transformada Inversa de Laplace para cada termo.
Finalmente, a solução no domínio do tempo será obtida combinando os resultados das transformadas inversas de cada parcela.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = -2 e^-3t ( cos(raiz2, t) + 3raiz2 sin(raiz2, t) ) + 12 t

Exercícios relacionados