(b) At any given temperature T, let xl and xg be the compositions of the liquid and gas phases that are in equilibrium with each other. By setting the appropriate chemical potentials equal to each other, show that xl and xg obey the equations
1-xl1-xg=e^De

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre equilíbrio entre as fases líquida e gasosa de uma mistura a uma temperatura $ T $. Temos as composições $ x_l $ para o líquido e $ x_g $ para o gás. O que a questão quer é mostrar que essas composições obedece duas equações específicas envolvendo as energias livres padrão de Gibbs ($ \Delta G_{A}^{\circ} $ e $ \Delta G_{B}^{\circ} T R xl T $). Para resolver isso, vamos precisar entender sobre potenciais químicos e como eles se igualam no equilíbrio de fases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é potencial químico. O potencial químico ($ \mu $) de uma substância é como a “energia livre por mol” dessa substância em uma fase específica. Em equilíbrio, o potencial químico de cada componente na fase líquida deve ser igual ao potencial químico na fase gasosa. Ou seja:
mu

Passo 3

Agora, vamos expressar os potenciais químicos para cada componente e cada fase. A fórmula geral para o potencial químico é:
mui = mui^circ + RT ln(xi)
onde:
  • $ \mu_i^{\circ} $ é o potencial químico padrão do componente $ i $,
  • $ R $ é a constante dos gases ideais,
  • $ T $ é a temperatura,
  • $ x_i $ é a fração molar do componente $ i $ na fase específica.
Então, para o componente $ A $ na fase líquida e gasosa, temos:
mui^circ
i
E de igual forma para o componente $ B $:
R
T

Passo 4

Como estamos no equilíbrio, igualamos os potenciais químicos das duas fases para cada componente. Vamos começar com o componente $ A $:
A
Substituindo as expressões que encontramos:
muA,l = muA,g

Passo 5

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos subtrair $ \mu_A^{\circ} $ de ambos os lados:
muA^circ
Agora, dividimos ambos os lados por $ RT $:
RT ln(xl) = RT ln(xg)
Para eliminar o logaritmo natural, aplicamos a função exponencial:
RT
Hmm, parece que algo está faltando aqui. Vamos revisitar os potenciais químicos considerando as diferenças de energia livre padrão.

Passo 6

Na verdade, a energia livre padrão de Gibbs ($ \Delta G_i^{\circ} $) representa a diferença de energia livre quando o componente $ i $ muda de fase. Vamos considerar isso na igualdade dos potenciais químicos:
Para o componente $ A $:
De
Substituindo as expressões:
i
Agora, simplificamos subtraindo $ \mu_A^{\circ} $ de ambos os lados:
A
Dividindo tudo por $ RT $:
muA,l = muA,g + De
Rearranjando para isolar os termos com $ x $:
muA^circ + RT ln(xl) = muA^circ + RT ln(xg) + De
Agora, aplicamos a função exponencial para eliminar o logaritmo:
muA^circ
Fazemos o mesmo para o componente $ B $:
RT ln(xl) = RT ln(xg) + De

Resposta

Assim, mostramos que as composições $ x_l $ e $ x_g $ obedecem às equações:
xl

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