(a) Show that in an ideal mixture of A and B, the chemical potential of species A can be written
muA=muA^circ+k T ln (1-x),
where muA^circ is the chemical potential of pure A (at the same temperature and pressure) and x=NB /(NA+NB). Note that both formulas can be written for either the liquid phase or the gas phase.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que, numa mistura ideal de A e B, o potencial químico de A pode ser escrito como . Aqui, é o potencial químico de A pura, é a constante de Boltzmann, é a temperatura, e é a fração de partículas de B na mistura. Vamos usar conceitos de termodinâmica de misturas ideais para chegar nessa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o potencial químico ( ). Ele representa a energia livre por partícula de uma substância e é uma medida de quão “disponível” está a substância para reagir ou se misturar.

Passo 3

Em uma mistura ideal, assumimos que não há interação entre as moléculas diferentes além das já existentes na substância pura. Ou seja, a energia total da mistura é a soma das energias das substâncias puras. Nessa condição, o potencial químico de cada componente na mistura pode ser relacionado ao seu potencial químico na substância pura e à sua fração na mistura.

Passo 4

A fórmula geral para o potencial químico em uma mistura ideal é:
mui = mui^circ + k T ln xi
Aqui, é o potencial químico do componente na mistura, é o potencial químico do componente na forma pura, é a constante de Boltzmann, é a temperatura, e é a fração de partículas do componente na mistura.

Passo 5

No nosso caso, o componente muA = muA^circ + k T ln xA é o A. Então, aplicando a fórmula:
Agora, precisamos expressar em termos de , que é a fração de partículas de B.

Passo 6

Sabemos que x = NBNA + NB é definido como:
xA = NANA + NB = 1 - NBNA + NB = 1 - x
Onde é o número de partículas de B e é o número de partículas de A. A fração de partículas de A, , é:

Passo 7

Substituindo muA = muA^circ + k T ln (1 - x) na equação do potencial químico:

Resposta

Então, mostramos que em uma mistura ideal de A e B, o potencial químico de A é dado por:
muA = muA^circ + k T ln (1 - x)

Exercícios relacionados