(a) Show that in an ideal mixture of
and
, the chemical potential of species
can be written
where
is the chemical potential of pure
(at the same temperature and pressure) and
. Note that both formulas can be written for either the liquid phase or the gas phase.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que, numa mistura ideal de A e B, o potencial químico de A pode ser escrito como
. Aqui,
é o potencial químico de A pura,
é a constante de Boltzmann,
é a temperatura, e
é a fração de partículas de B na mistura. Vamos usar conceitos de termodinâmica de misturas ideais para chegar nessa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o potencial químico (
). Ele representa a energia livre por partícula de uma substância e é uma medida de quão “disponível” está a substância para reagir ou se misturar.
Passo 3
Em uma mistura ideal, assumimos que não há interação entre as moléculas diferentes além das já existentes na substância pura. Ou seja, a energia total da mistura é a soma das energias das substâncias puras. Nessa condição, o potencial químico de cada componente na mistura pode ser relacionado ao seu potencial químico na substância pura e à sua fração na mistura.
Passo 4
A fórmula geral para o potencial químico em uma mistura ideal é:
Aqui,
é o potencial químico do componente
na mistura,
é o potencial químico do componente
na forma pura,
é a constante de Boltzmann,
é a temperatura, e
é a fração de partículas do componente
na mistura.
Passo 5
No nosso caso, o componente
é o A. Então, aplicando a fórmula:
Agora, precisamos expressar
em termos de
, que é a fração de partículas de B.
Passo 6
Sabemos que
é definido como:
Onde
é o número de partículas de B e
é o número de partículas de A. A fração de partículas de A,
, é:
Passo 7
Substituindo
na equação do potencial químico:
Resposta
Então, mostramos que em uma mistura ideal de A e B, o potencial químico de A é dado por: