(a) Show that in an ideal mixture of
and
, the chemical potential of species
can be written
where
is the chemical potential of pure
(at the same temperature and pressure) and
. Derive a similar formula for the chemical potential of species
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma mistura ideal dos componentes
e
. Já foi apresentada uma expressão para o potencial químico de
:
onde:
-
é o potencial químico de puro, -
é a constante de Boltzmann, -
é a temperatura, -
é a fração molar de .
Agora, precisamos derivar uma expressão similar para o potencial químico de
, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de potencial químico em uma mistura ideal. Em uma solução ideal, o potencial químico de cada componente pode ser expresso como:
onde:
-
é o potencial químico do componente puro, -
é a fração molar do componente .
Essa expressão mostra como o potencial químico de um componente varia com a concentração na mistura.
Passo 3
No caso da substância
, a fração molar é
, já que
. Por isso, a expressão dada para
é:
Agora, queremos encontrar uma expressão semelhante para
.
Passo 4
Aplicando a mesma lógica para o componente
, a fração molar de
é
. Então, substituindo na fórmula geral do potencial químico, temos:
Passo 5
Como
, podemos substituir diretamente:
Resposta
A fórmula para o potencial químico de
na mistura ideal é: