(a) Show that in an ideal mixture of A and B, the chemical potential of species A can be written
muA=muA^circ+k T ln (1-x),
where muA^circ is the chemical potential of pure A (at the same temperature and pressure) and x=NB /(NA+NB). Derive a similar formula for the chemical potential of species B.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma mistura ideal dos componentes muA = muA^circ + k T ln (1 - x), e . Já foi apresentada uma expressão para o potencial químico de :
onde:
  • é o potencial químico de puro,
  • é a constante de Boltzmann,
  • é a temperatura,
  • é a fração molar de .
Agora, precisamos derivar uma expressão similar para o potencial químico de , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de potencial químico em uma mistura ideal. Em uma solução ideal, o potencial químico de cada componente pode ser expresso como:
mui = mui^circ + k T ln xi,
onde:
  • é o potencial químico do componente puro,
  • é a fração molar do componente .
Essa expressão mostra como o potencial químico de um componente varia com a concentração na mistura.

Passo 3

No caso da substância muA = muA^circ + k T ln (1 - x) = muA^circ + k T ln xA , a fração molar é , já que . Por isso, a expressão dada para é:
Agora, queremos encontrar uma expressão semelhante para .

Passo 4

Aplicando a mesma lógica para o componente muB = muB^circ + k T ln xB , a fração molar de é . Então, substituindo na fórmula geral do potencial químico, temos:

Passo 5

Como muB = muB^circ + k T ln x , podemos substituir diretamente:

Resposta

A fórmula para o potencial químico de muB = muB^circ + k T ln x na mistura ideal é:

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