b) Avalie

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Estamos lidando com uma integral que envolve uma expressão com raiz quadrada e uma forma parecida com , onde . Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, que é uma técnica comum em cálculo para simplificar integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir:
Aqui, é a função secante, e escolhemos essa substituição porque ela ajuda a simplificar a raiz quadrada que temos na integral.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Isso nos ajuda a substituir na integral original.

Passo 4

Substituindo e na integral, temos:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Agora, a integral fica:
A simplificação aqui cancelou os termos e .

Passo 6

A integral de é:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original . Sabemos que:
E também:

Passo 8

Substituindo e de volta na expressão da integral:
Podemos simplificar isso absorvendo a constante dentro de :

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
*a) Prove que a área da elipse é
Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais abaixo e represente-os graficamente.
Considere , onde , no ponto Calcule o divergente e o rotacional.