b) Avalie integral d xraizx^2-3^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Estamos lidando com uma integral que envolve uma expressão com raiz quadrada e uma forma parecida com , onde . Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, que é uma técnica comum em cálculo para simplificar integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir:
x = 3 sec(theta)
Aqui, é a função secante, e escolhemos essa substituição porque ela ajuda a simplificar a raiz quadrada que temos na integral.

Passo 3

Agora, vamos derivar dx = 3 sec(theta) tan(theta) dtheta em relação a para encontrar :
Isso nos ajuda a substituir na integral original.

Passo 4

Substituindo integral dxraizx^2 - 3^2 = integral 3 sec(theta) tan(theta) dthetaraiz9 sec^2(theta) - 9 = integral 3 sec(theta) tan(theta) dthetaraiz9 (sec^2(theta) - 1) e raiz9 (sec^2(theta) - 1) = raiz9 tan^2(theta) = 3 tan(theta) na integral, temos:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Agora, a integral fica:
integral 3 sec(theta) tan(theta) dtheta3 tan(theta) = integral sec(theta) dtheta
A simplificação aqui cancelou os termos e .

Passo 6

A integral de integral sec(theta) dtheta = ln|sec(theta) + tan(theta)| + C é:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original x = 3 sec(theta) implies sec(theta) = x3 . Sabemos que:
tan(theta) = raizsec^2(theta) - 1 = raiz(x3)^2 - 1 = raizx^2 - 93
E também:

Passo 8

Substituindo ln|x3 + raizx^2 - 93| + C = ln|x + raizx^2 - 93| + C e ln|x + raizx^2 - 9| + C de volta na expressão da integral:
Podemos simplificar isso absorvendo a constante dentro de :

Resposta

A integral ln|x + raizx^2 - 9| + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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