Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais abaixo e represente-os graficamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos o divergente e o rotacional do campo vetorial
e depois representar graficamente esses resultados. Para isso, vamos precisar entender o que são divergente e rotacional, que são conceitos de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre divergente. O divergente de um campo vetorial nos dá uma medida de quão “espalhado” está o campo em cada ponto. Matematicamente, para um campo
, o divergente é calculado como:
Passo 3
Agora, vamos calcular o divergente do nosso campo
.
Primeiro, identifiquemos
e
:
Calculamos as derivadas parciais:
Então, o divergente é:
Passo 4
Agora, vamos entender o rotacional. O rotacional de um campo vetorial nos indica a tendência do campo em girar ao redor de um ponto. Para um campo
em duas dimensões, o rotacional é dado por:
Aqui,
é a unidade vetorial na direção z, já que estamos trabalhando em duas dimensões.
Passo 5
Vamos calcular o rotacional do campo
.
Primeiro, identifiquemos
e
novamente:
Calculamos as derivadas parciais:
Então, o rotacional é:
Resposta
O divergente do campo vetorial
é zero, ou seja,
, e o rotacional é
, ou seja,
.