Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais abaixo e represente-os graficamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos o divergente e o rotacional do campo vetorial e depois representar graficamente esses resultados. Para isso, vamos precisar entender o que são divergente e rotacional, que são conceitos de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre divergente. O divergente de um campo vetorial nos dá uma medida de quão “espalhado” está o campo em cada ponto. Matematicamente, para um campo , o divergente é calculado como:

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente do nosso campo .
Primeiro, identifiquemos e :
Calculamos as derivadas parciais:
éçã
éçã
Então, o divergente é:

Passo 4

Agora, vamos entender o rotacional. O rotacional de um campo vetorial nos indica a tendência do campo em girar ao redor de um ponto. Para um campo em duas dimensões, o rotacional é dado por:
Aqui, é a unidade vetorial na direção z, já que estamos trabalhando em duas dimensões.

Passo 5

Vamos calcular o rotacional do campo .
Primeiro, identifiquemos e novamente:
Calculamos as derivadas parciais:
Então, o rotacional é:

Resposta

O divergente do campo vetorial é zero, ou seja, , e o rotacional é , ou seja, .

Exercícios relacionados

b) Avalie
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Considere , onde , no ponto Calcule o divergente e o rotacional.
Considere que seja o valor principal da potência complexa no domínio . Calcule o valor da derivada da função no ponto indicado: