Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais abaixo e represente-os graficamente.
F(x, y) = -c * y * i + c * x * j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos o divergente e o rotacional do campo vetorial e depois representar graficamente esses resultados. Para isso, vamos precisar entender o que são divergente e rotacional, que são conceitos de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre divergente. O divergente de um campo vetorial nos dá uma medida de quão “espalhado” está o campo em cada ponto. Matematicamente, para um campo , o divergente é calculado como:

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente do nosso campo .
Primeiro, identifiquemos e :
Calculamos as derivadas parciais:
éçã
éçã
Então, o divergente é:

Passo 4

Agora, vamos entender o rotacional. O rotacional de um campo vetorial nos indica a tendência do campo em girar ao redor de um ponto. Para um campo em duas dimensões, o rotacional é dado por:
Aqui, k é a unidade vetorial na direção z, já que estamos trabalhando em duas dimensões.

Passo 5

Vamos calcular o rotacional do campo .
Primeiro, identifiquemos e novamente:
Calculamos as derivadas parciais:
Então, o rotacional é:

Resposta

O divergente do campo vetorial é zero, ou seja, , e o rotacional é , ou seja, .

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