Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função . Para isso, precisamos analisar diferentes aspectos dessa função, como domínio, intersecções com os eixos, simetrias, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade e pontos de inflexão. Vamos usar conceitos de funções polinomiais e cálculo diferencial para isso.

Passo 2

A. Determinar o domínio da função.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como é um polinômio, não há restrições como raízes quadradas de números negativos ou divisões por zero. Portanto, o domínio é todos os números reais.
í

Passo 3

B. Intersecções com os eixos.
  • Interseção com o eixo y: ocorre quando .
Portanto, a interseção com o eixo y é no ponto .
  • Interseções com o eixo x: ocorre quando .
As soluções são e . A equação não tem soluções reais. Assim, a única interseção com o eixo x é em .

Passo 4

C. Simetrias.
Para verificar simetrias, analisamos se a função é par, ímpar ou não possui simetria.
  • Função par:
  • Função ímpar:
Calculando :
Como , a função é ímpar e possui simetria em relação à origem.

Passo 5

D. Encontrar as assíntotas horizontais e verticais.
Como é um polinômio de grau 3:
  • Assíntotas verticais: Polinômios não possuem assíntotas verticais, já que são definidos para todos os reais.
  • Assíntotas horizontais: Para grandes valores de , tende para ou , dependendo do sinal de . Portanto, não há assíntotas horizontais.

Passo 6

E. Encontrar os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
Para isso, calculamos a derivada primeira :
Como para todo , a função é sempre crescente em todo o seu domínio.
ãá

Passo 7

F. Encontrar os valores de máximo e mínimo locais.
Como a função é sempre crescente e sua derivada não se anula, não existem pontos de máximo ou mínimo locais.

Passo 8

G. Encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Calculamos a derivada segunda :
Analisamos onde muda de sinal:
  • quando : concavidade para cima.
  • quando : concavidade para baixo.
Ponto de inflexão ocorre quando :
Então, há um ponto de inflexão em .
  • Concavidade para cima:
  • Concavidade para baixo:

Passo 9

H. Esboçar o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Com base nas análises:
  • Domínio:
  • Intersecção única na origem
  • Função ímpar, simetria em relação à origem
  • Sem assíntotas
  • Sempre crescente
  • Sem máximos ou mínimos locais
  • Ponto de inflexão em
  • Concavidade muda em
O gr��fico será uma curva cúbica que passa pela origem, sempre aumentando, com concavidade para baixo à esquerda do ponto de inflexão e para cima à direita.

Resposta

O gráfico da função possui domínio em todos os reais, intercepta os eixos apenas na origem, é simétrica em relação à origem, não possui assíntotas, é sempre crescente sem máximos ou mínimos locais, possui um ponto de inflexão em , e a concavidade muda de para baixo para para cima passando pela origem. O esboço reflete essas características com uma curva cúbica ascendente.

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