Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função
. Para isso, precisamos analisar diferentes aspectos dessa função, como domínio, intersecções com os eixos, simetrias, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade e pontos de inflexão. Vamos usar conceitos de funções polinomiais e cálculo diferencial para isso.
Passo 2
A. Determinar o domínio da função.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como
é um polinômio, não há restrições como raízes quadradas de números negativos ou divisões por zero. Portanto, o domínio é todos os números reais.
Passo 3
B. Intersecções com os eixos.
- Interseção com o eixo y: ocorre quando
.
Portanto, a interseção com o eixo y é no ponto
.
- Interseções com o eixo x: ocorre quando
.
As soluções são
e
. A equação
não tem soluções reais. Assim, a única interseção com o eixo x é em
.
Passo 4
C. Simetrias.
Para verificar simetrias, analisamos se a função é par, ímpar ou não possui simetria.
- Função par:
- Função ímpar:
Calculando
:
Como
, a função é ímpar e possui simetria em relação à origem.
Passo 5
D. Encontrar as assíntotas horizontais e verticais.
Como
é um polinômio de grau 3:
- Assíntotas verticais: Polinômios não possuem assíntotas verticais, já que são definidos para todos os reais.
- Assíntotas horizontais: Para grandes valores de
, tende para ou , dependendo do sinal de . Portanto, não há assíntotas horizontais.
Passo 6
E. Encontrar os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
Para isso, calculamos a derivada primeira
:
Como
para todo
, a função é sempre crescente em todo o seu domínio.
Passo 7
F. Encontrar os valores de máximo e mínimo locais.
Como a função é sempre crescente e sua derivada não se anula, não existem pontos de máximo ou mínimo locais.
Passo 8
G. Encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Calculamos a derivada segunda
:
Analisamos onde
muda de sinal:
-
quando : concavidade para cima. -
quando : concavidade para baixo.
Ponto de inflexão ocorre quando
:
Então, há um ponto de inflexão em
.
- Concavidade para cima:
- Concavidade para baixo:
Passo 9
H. Esboçar o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Com base nas análises:
- Domínio:
- Intersecção única na origem
- Função ímpar, simetria em relação à origem
- Sem assíntotas
- Sempre crescente
- Sem máximos ou mínimos locais
- Ponto de inflexão em
- Concavidade muda em
O gr��fico será uma curva cúbica que passa pela origem, sempre aumentando, com concavidade para baixo à esquerda do ponto de inflexão e para cima à direita.
Resposta
O gráfico da função
possui domínio em todos os reais, intercepta os eixos apenas na origem, é simétrica em relação à origem, não possui assíntotas, é sempre crescente sem máximos ou mínimos locais, possui um ponto de inflexão em
, e a concavidade muda de para baixo para para cima passando pela origem. O esboço reflete essas características com uma curva cúbica ascendente.
Exercícios relacionados
*a) Prove que a área da elipse
é
Encontre as assíntotas horizontais, verticais e inclinadas das seguintes funções:
b) Avalie
Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais abaixo e represente-os graficamente.