Considere , onde , no ponto Calcule o divergente e o rotacional.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício sobre divergente e rotacional de um campo vetorial. A questão nos dá um campo vetorial definido por e pede para calcular o divergente e o rotacional desse campo no ponto . Para isso, vamos usar as definições matemáticas de divergente e rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergente do campo . A divergente de um campo vetorial é dada por:
Vamos identificar cada componente do nosso campo:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Somando tudo:
No ponto , substituímos :

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de . O rotacional de um campo vetorial é dado pelo operador vetorial:
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:
Então, o rotacional fica:
No ponto , substituímos :

Resposta

No ponto , a divergente de é igual a e o rotacional de é .

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Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais abaixo e represente-os graficamente.
b) Avalie
Considere que seja o valor principal da potência complexa no domínio . Calcule o valor da derivada da função no ponto indicado:
Use coordenadas polares para calcular a integral dupla. , onde é a região contida no círculo .